Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Начнем со случая одной особой точки на слое L, то есть когда п = 1. Для доказательства теоремы в этом случае достаточно воспользоваться построен-
382
Глава 9
ным выше модельным примером особенности типа фокус-фокус и вычислить на нем в явном виде матрицу монодромии. Напомним, что на модельном 4-мно-гообразии Ui заданы комплексные координаты (z, w). Хотя они «покрывают» все 4-многообразие Ui, но не являются однозначно заданными координатами. Они являются координатами внутри лишь одной карты, замыкание которой дает все U\. На U\ задана также голоморфная функция F = zw, отображающая U\ на плоскость М2 = С, т. е. на комплексную прямую. Ясно, что это и есть отображение момента, отвечающее коммутирующим вещественным функциям /1 = KeF, /2 = ImF. Следовательно, 3-многообразие Qle задается уравнением |F(z, w)| = ?, то есть \zw\ = е. Опишем полезное представление многообразия Qle. Рассмотрим в С2 3-многообразие с краем, задаваемое условиями:
\zw\ = ?, \z\ ^ 1, |w| ^ 1.
Его край состоит из двух 2-мерных торов, задаваемых так:
Tw = {\z\ = ?, |w| = 1}, Tz = {\w\ = ?, \z\ = 1}.
Многообразие Qle получается из описанного выше 3-многообразия путем склейки этих двух граничных торов по диффеоморфизму, задаваемому формулой:
?:TW^TZ, где ?: (z, w) (w_1, zw2).
Получившееся 3-многообразие Qle расслоено на двумерные торы Лиувилля Т'{р, где <р — параметр, угол на окружности уе. То есть
Ту = {zw = ?ег(р}.
Построим теперь на каждом из этих 2-торов Tv базис (Ар, гладко зависящий от параметра (р. Наша цель — найти матрицу монодромии. Эта матрица получится как матрица перехода на торе То = Т2п от базиса (Ао, цо) к базису (Х^, Цъ-к)-
Мы зададим базис (А^,, ц<р) в явном виде, предъявив соответствующие формулы. Через t мы обозначим угловой параметр на циклах A^(t) и fiip(t). См. рис. 9.56.
Alp(t) = (?ei‘pe27'it,e~2vit), t G [0, 1],
liv(8) = (ee_1e^T(e), se^(1-r(s))), s G [e, 1].
Здесь r(s) = (s — e)(l — e)-1.
Перемножая обе компоненты, сразу убеждаемся, что оба цикла лежат на торе Tv = {zw = ?ег<р}. Также очевидно, что Av(t) является нетривиальным циклом без самопересечений на этом торе. Проверим, что кривая fiip(s) также является нетривиальным циклом без самопересечений на этом же торе. В самом
Лиувиллева классификация интегрируемых систем
383
деле, при s = ? мы получаем точку (1, ?ег<р) на торе Tz. При s = 1 мы получаем точку (?ег(р, 1) на торе Tw. Напомним теперь, что эти два тора нужно склеить при помощи отображения ?, чтобы получить многообразие Qle. Легко видеть, что отображение ? склеивает две точки: (1, ?ег<р) и (?ег(р, 1). То есть действительно получается замкнутый цикл.
Сравним теперь базисы (Ао, До) и (Аг-тг? №п)- Имеем:
Ао (t) А27Г (t)
(?e2nit,
(?e27rit,
e~2nit),
— 2irit
),
Vo (a) (в)
(es 1, s). (es
—1^27tit(s)
se
-27
Рис. 9.57
Ясно, что Ао = Агтг, а = Ао + До- Отсюда и следует, что матрица монодромии имеет искомый вид. Теорема доказана для п = 1. Если же п произвольно, то ясно, что предыдущая формула примет следующий вид: Ао = Агтг? a fi2-к = пАо + До- Это вытекает, например, из того, что для случая п особых точек матрица монодромии, отвечающая п = 1, возводится в п-ю степень. Последнее утверждение хорошо видно после перехода к n-листному накрытию.
См. рис. 9.57. Теорема полностью доказана. ¦
Комментарий. Граничный тор Tz, — он же тор Tw после склейки, — пересекается со всеми торами вида Ту по циклам Xtp. Но все эти циклы на торе Tz гомологичны одному и тому же циклу Ао- Кроме того, все циклы вида А^ являются орбитами действия окружности S1 на Qle.
Вкратце опишем теперь и другое доказательство этой же теоремы. Отметим, что на 3-многообразии Qle есть два разных расслоения на двумерные торы. Мы использовали оба. Первое расслоение — на торы Лиувилля, то есть на торы вида Тр. Базой расслоения является окружность 7е. Второе — расслоение на торы Т'8 вида:
Tg = {И = ?s-1, |ги| = s}. Здесь s Е [г, 1].
При этом тор Tz, — он же тор Tw после склейки, — естественно включен в это семейство. А именно, Т[ = Tw, а Т' = Тх.
Матрицу монодромии расслоения Qle над окружностью можно проинтерпретировать в терминах фундаментальной группы многообразия Qle. Имеет место следующее общее утверждение, пусть 7г: Qle —у S1 является расслоением со слоем 2-тор. Выберем три образующих в группе ni(Qle).
Пусть 7 — образующая, гомеоморфно проектирующаяся на базу S1, а а и (3 — две образующие на слое, то есть на торе. См. рис. 9.58. Тогда фундаментальная группа 7Г1 (Q7e)
Рис. 9.58
384
Глава 9
порождена этими тремя образующими а, [3, 7, между которыми нужно задать следующие соотношения: 1) а и (3 — коммутируют, и 2) соотношение
( 7cry-1 \ _ г (а\