Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
При отображении момента каждое такое семейство проектируется в гладкую одномерную дугу на бифуркационной диаграмме. Однако в нашем случае бифуркационная диаграмма является изолированной точкой. Следовательно, никаких одномерных орбит нет. Перейдем к двумерным орбитам. Мы утверждаем, что торов и дисков здесь нет. В самом деле, поскольку одномерных орбит нет, то каждая двумерная орбита из особого слоя должна примыкать по крайней мере к одной особой точке. В окрестности этой точки определено свободное действие окружности (см. выше). Это действие естественным образом продолжается на все орбиты, проходящие через окрестность особой точки. Таким образом, на всех двумерных орбитах особого слоя L имеется свободное действие окружности. Ясно, что это возможно только при условии, что все эти орбиты гомеоморфны кольцу. Итак, особый слой L склеен из нульмерных орбит и колец. Причем кольца примыкают к нульмерным орбитам в точности так, как описано выше. Другими словами, граница каждого кольца стягивается в две осо-
Лиувиллева классификация интегрируемых систем
375
бые точки. В результате п особых точек последовательно соединены кольцами. Лемма доказана. ¦
Лемма 9.8. На U(L) определено гладкое гамильтоново действие окружности S1, являющееся свободным всюду за исключением особых точек х\, ... , хп и оставляющее каждый слой слоения Лиувилля инвариантным. Такое действие определено однозначно с точностью до замены ориентации на действующей окружности S1. Доказательство.
Мы уже видели, что действие окружности с нужными нам свойствами определено по отдельности в окрестности каждой особой точки ж*. Возьмем одну из них. В ее окрестности, в подходящей системе координат р\, qi, р2, — яв-
ляющейся на самом деле канонической, — гамильтониан этого действия есть функция /2 = piq2 — P2qi- На самом деле эта функция является вполне определенной функцией от / и Н, т.е. /2 = f2(f, Н). Поскольку / и Н заданы глобально на всем U(L), и функцию /2 можно считать заданной на всем U(L). С другой стороны, интегральные траектории поля sgrad/2 замкнуты с периодом 2тг в окрестности точки ж*. В частности, они замкнуты и на каждом торе Лиувилля, проходящем через окрестность точки ж*. Но в таком случае интегральные траектории поля sgrad/2 будут замкнуты на всем торе Лиувилля, т.е. «вдали» от точки ж*. Следовательно, интегральные траектории поля sgrad/2 замкнуты с периодом 2тг на всех торах Лиувилля в U(L). Тогда, по непрерывности, они замкнуты и на всей окрестности U(L). Но это и означает, что на окрестности U(L) гладко действует окружность S'1, с периодом 2тг. Ясно, что слои Лиувилля в U(L) инвариантны относительно этого действия. Дело в том, что гамильтониан этого действия, то есть функция /2, является функцией от Н и /. Однозначность действия, с точностью до замены ориентации на действующей окружности, следует из локальной однозначности в окрестности даже одной особой точки ж*. Лемма доказана. ¦
9.8.2. Классификация особенностей типа фокус-фокус
Особый слой L удобно представить в виде объединения п «элементарных блоков» Li, гомеоморфных окрестности вершины конуса. Другими словами, элементарный блок Li — это окрестность особой точки ж* внутри особого слоя. Эта окрестность гомеоморфна паре трансверсально пересекающихся дисков.
Теперь распространим это разбиение особого слоя L на 4-мерную окрестность U(L), чтобы представить U(L) в виде объединения п элементарных
4-блоков Ui. Для этого разрежем U(L) по трехмерным многообразиям, гомеоморфным S1 х D2, где окружности S1 являются срединными окружностями колец, соединяющих особые точки типа фокус-фокус. Разре- ис‘
зая слой L по этим окружностям, мы разбиваем его в объединение элементарных 2-блоков Li. Чтобы разрезать U(L), нужно распространить разрез с особого слоя L на соседние с ним слои-торы. На каждом близком торе нужно взять окруж-
376
Глава 9
ность, близкую к выделенной нами окружности на L. Следовательно, граница каждого 4-блока Ui состоит из двух полноторий S1 х D2. См. условный рис. 9.51. С топологической точки зрения элементарный 4-блок Ui можно рассматривать как регулярную е-окрестность точки типа фокус-фокус в U(L). Другими словами, 4-блок Ui — это пересечение U(L) с четырехмерным шаром D4 радиуса s с центром в точке типа фокус-фокус.
Пересечение 4-блока Ui с граничной сферой S3 состоит из двух «тонких» полноторий, расположенных в сфере следующим образом. Нужно рассмотреть сферу S3, вложенную стандартным образом в C?(z, w) и задаваемую уравнением \z\2 + |w|2 = 1. Элементарный 4-блок Ui можно представить тогда в виде: {\zw\ < е} П D, то есть это — часть е-окрестности двумерной поверхности {zw = 0}, попавшая в 4-шар. Напомним, что уравнение zw = 0 задает особый слой L в шаре D4. Легко видеть, что множество {\zw\ < е} высекает на границе 4-диска D4 два «тонких» полнотория. Два тора, являющихся границами этих полноторий, задаются в сфере S3 следующими уравнениями:
