Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Построим теперь 4-мерное пространство U(L), накрывающее 4-многообра-зие U(L). Как мы сейчас покажем, в действительности пространство U(L) послойно диффеоморфно прямому произведению В х В. В самом деле, это прямое произведение тоже представляется в виде объединения и склейки элементарных блоков «крест на крест». На В х В также заданы две функции Д, Д, определяющие структуру лиувиллева слоения. Построим теперь послойное отображение
В х В U(L).
Берем произвольный элементарный блок^из В х В и произвольный элементарный блок из U(L). Отображаем блок из В х В на блок из U(L) при помощи послойного диффеоморфизма, переводящего функции Д, Д в функции Д, Д и сохраняющего ориентацию. Теперь, как и в двумерном случае, легко видеть, что это отображение легко продолжить, однозначно с точностью до послойной эквивалентности, на все соседние блоки «крест на крест». Распространяя это
либо, наоборот, как
Прямое произведение Рис. 9.43
Лиувиллева классификация интегрируемых систем
367
отображение «во все стороны», мы и получаем искомое послойное отображение В х В —»• U(L). Построенное отображение будет универсальным накрытием. При этом оно сохраняет ориентацию и переводит слоение Лиувилля в слоение Лиувилля. Дело в том, что на каждом шаге мы требуем, чтобы функции Д, /2 переходили в функции Д, /2. Таким образом, для всех особенностей типа седло-седло универсальное накрытие одно и то же, что и требовалось доказать.
Теперь механизм возникновения структуры почти прямого произведения начинает становиться понятным. Мы видим, что универсальное накрытие над U(L) является прямым произведением В на В. Чтобы теперь вернуться к U(L), придется факторизовать это прямое произведение по действию фундаментальной группы. Как мы сейчас увидим, эту факторизацию можно разделить на два этапа. Сначала профакторизовать В х В по некоторой подгруппе так, чтобы получить прямое произведение двух компактных 2-атомов. И лишь затем «дофакторизовать» по действию некоторой конечной группы. Это и даст утверждение теоремы 9.9.
Рассмотрим универсальное накрывающее 4-многообразие В х В над U(L). Оно односвязно, и на нем действует скольжениями фундаментальная группа Y = = 7Гх(U(L)). Легко видеть, что это действие является симплектическим, то есть сохраняет симплектическую структуру, естественно возникающую на ВхВ, сохраняет значения обоих интегралов Д, /2, а поэтому переводит слои слоения Лиувилля в слои слоения Лиувилля. То есть элементы группы Y скольжений накрытия фактически являются автоморфизмами 2-слоения на 4-многообразии ВхВ. Рассмотрим полную группу автоморфизмов слоения Лиувилля на ВхВ. Профак-торизуем ее по подгруппе изотопий слоения, то есть будем рассматривать автоморфизмы слоения с точностью до послойных изотопий. В результате получится дискретная группа. Она изоморфна группе
Aut х Aut,
где группа Aut является дискретной группой автоморфизмов накрытия В, то есть одного сомножителя в прямом произведении ВхВ. Поскольку накрытие В х В является прямым произведением, то его дискретная группа автоморфизмов также распадается в прямое произведение Aut х Aut.
Легко видеть далее, что группа Aut изоморфна группе Z * Z2. То есть, — свободному произведению группы Z(а), порожденной образующей а, и группы Z2(s), порожденной образующей s второго порядка. Предъявим действие образующих а иjs в явном виде на накрытии В. Преобразование s: В —»• В порождается симметрией двумерного креста, показанной на рис. 9.44. Другими словами, s — это центральная симметрия пространства В относительно одной Симметрия
из вершин, порожденная центральной симметрией атома В.
гг « Рис Q 44
Ясно, что s является инволюциеи.
Преобразование а: В —»• В определяется как элементарный сдвиг, как элементарное скольжение накрытия В по себе, задаваемое рисунком 9.45. То есть нужно рассмотреть одну из образующих фундаментальной группы атома В
368
Глава 9
и взять порожденный ею сдвиг на универсальном накрытии В атома В. На рис. 9.45 показано действие этого преобразования а. Оно получается так. Выберем на «дереве» В произвольную вершину 0 и объявим ее центром «дерева». Затем рассмотрим «сдвиг» всего «дерева» В вверх на единицу, после чего повернем все «дерево» как жесткое целое вокруг точки 0 на угол Результат и есть
преобразование а. _
Итак, мы описали явным образом действие на В двух образующих а и s группы Aut. Ясно, что на прямом произведении ВхВ действует прямое произведение этих групп Aut х Aut. Причем, эта^руппа является максимальной дискретной группой автоморфизмов накрытия ВхВ. Следовательно, группа скольжений Y может быть рассмотрена как подгруппа в этой группе.
Рассмотрим пересечение группы Y с двумя сомножителями Autx{e} и {е} х Aut в группе Aut х Aut. Положим
Yi =Fn(Autx{e}), Y2 = Yn ({e} x Aut).
