Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Следствие. Круговая молекула для особенностей типа седло-седло сложности 1 и 2 является полным инвариантом слоения Лиувилля в окрестности этой особенности.
Доказательство.
Достаточно заметить, что все круговые молекулы, перечисленные на рис. 9.35 и в таблице 9.2, — различны. ¦
9.6. Представление четырехмерной особенности типа седло-седло как почти прямого произведения двумерных атомов
Выше мы дали полную классификацию особенностей седло-седло в терминах С/-ТИПОВ. Несмотря на эффективность этого описания, оно все-таки несколько громоздко. Подойдем к их описанию с другой стороны. Попробуем представить себе — как могут они быть устроены. Простейший способ получения 4-мер-ной особенности типа седло-седло состоит в прямом перемножении двух двумерных особенностей, т.е. атомов. Приведем простейший пример.
Рассмотрим два атома В, т.е. две двумерные ориентируемые поверхности Pi, Р2 с функциями /i, f2. Особая линия уровня функции Д на каждом атоме Pi — это восьмерка, т.е. простейшая седловая особенность. Зададим на Р*
Лиувиллева классификация интегрируемых систем
363
симплектическую структуру и рассмотрим прямое произведение Pi х Р2 с симплектической структурой, являющейся суммой двух симплектических структур u)i и ш2. Функции fi и /2, продолженные на Рх х Р2, очевидно, коммутируют относительно этой структуры и задают слоение Лиувилля на Рх х Р2. Это слоение имеет ровно одну особенность типа седло-седло. Ее особый слой L является прямым произведением двух восьмерок. Эта особенность в теореме 9.5 указана как первая в списке.
Ясно, что таким же образом можно перемножать и любые седловые атомы Vi и V2, получая при этом все новые и новые примеры 4-мерных особенностей седло-седло. Эту конструкцию можно несколько модернизировать. Приведем пример.
Рассмотрим прямое произведение С2 х В двух атомов: С2 и В, получим 4-мерное сим-плектическое многообразие, структура которого является прямой суммой симплектических структур сомножителей. Рассмотрим на атомах С2 и В центральные симметрии, которые обозначим п и 72 соответственно. Ясно, что инволюция п не имеет на атоме С2 неподвижных точек. Определим ин- ^ис'
волюцию т на С2 х В при помощи естественной формулы: т(х, у) — — (тх(ж), т2{у)). Очевидно, что она свободно действует на С2 х В, т.е. не имеет неподвижных точек. См. рис. 9.39. Кроме того, инволюция сохраняет симплектическую структуру на С2 х В. Поэтому можно профакторизовать С2 х В по этому действию группы Ъ2. В результате получится 4-многообразие (С2 х В)/Ъ2, на котором, очевидно, возникает интегрируемая система с ровно одной особенностью седло-седло. Проанализировав топологию получившегося особого слоя, мы увидим, что она имеет тип 2 из теоремы 9.5.
Нетрудно видеть, что особенности вида 3 и 4 из этой же теоремы 9.5, могут быть описаны в рамках такой же конструкции, а именно: прямое произведение атомов с последующей его факторизацией по свободному действию некоторой конечной группы.
Оказывается, в этом проявляется некоторый общий факт: в некотором смысле любая особенность типа седло-седло получается таким образом.
Пусть Vi и V2 — два седловых атома со своими симплектическими структурами и, соответственно, функциями Морса /1 и f2. Пусть на каждом атоме симплектически действует одна и та же конечная группа G, причем действие сохраняет функции /1 и f2. Тогда на прямом произведении Vi х V2 определена симплектическая структура, как сумма двух структур атомов. Определена также структура лиувиллева слоения, задаваемого парой коммутирующих функций fi,f2. Определено действие группы G, задаваемое формулой tp(g)(x 1, х2) = (tpi(g)(xi), (p2(g)(x2)), где (fi — действие G на атоме VJ. Очевидно, действие <р — симплектическое и сохраняет структуру слоения Лиувилля. Если действие <р — свободно, то можно рассмотреть фактор-многообразие (Vi х V2)/G. Оно, очевидно, тоже симплектическое, имеет естественную структуру слоения Лиувилля, и является 4-мерной окрестностью связного особого слоя L типа седло-седло.
364
Глава 9
Определение 9.6. Описанная выше четырехмерная особенность седло-седло будет называться особенностью типа почти прямого произведения.
Напомним, что, как всегда, мы рассматриваем особенности, удовлетворяющие естественным условиям невырожденности, сформулированным ранее.
Теорема 9.9 (Т. 3. Нгуен [344]). Любая четырехмерная особенность U(L) седло-седло имеет тип почти прямого произведения.
Доказательство.
Фактически нужно доказать, что для каждой такой особенности существует некоторое накрытие, диффеоморфное прямому произведению двух 2-атомов, причем группа накрытия действует покомпонентно и свободно на этом прямом произведении.
Рассмотрим универсальное 4-мерное накрытие U —> U(L) окрестности особого слоя L. Это — снова симплектическое 4-многообразие, на котором задана пара коммутирующих функций Д, /2. Они получаются естественным поднятием на U функций /1, /2, заданных на 4-многообразии U(L). В результате на U также возникает структура лиувиллева слоения. Слои его будут в действительности некомпактными, в отличие от слоения на U. Отметим, что U можно представить в виде 4-мерной регулярной окрестности U(L) особого слоя L, задаваемого уравнениями /1 = 0, /2 = 0.
