Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Болсинов А.В. -> "Интегрируемые гамильтоновы системы " -> 169

Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.

Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы — И.: Удмуртский университет, 1999. — 444 c.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemi1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 163 164 165 166 167 168 < 169 > 170 171 172 173 174 175 .. 193 >> Следующая


Теперь заметим, что на универсальном накрывающем пространстве L естественным образом действует фундаментальная группа tti(L), как группа скольжений накрытия L —у L. С другой стороны, поскольку L вложено в В х В, то на L действует группа Aut х Aut. Следовательно, действие группы ni(L) скольжениями на L задает нам вложение этой группы в группу Aut х Aut. Итак, мы предъявили некоторую подгруппу в группе Aut х Аи1,,_отвечающую выбранному нами С7-типу. Теперь берем 4-пространство U(L) = В х В, 2-остовом которого и является L. Рассмотрим на нем действие группы tti(L), уже реализованной нами в виде подгруппы в полной дискретной группе автоморфизмов. Факторизуя 4-многообразие U(L) = В х В по этому действию, мы и получаем некоторое компактное 4-многообразие U(L). Очевидно, что оно и дает нам искомую реализацию выбранного С7-типа. Теорема реализации доказана. ¦
Лиувиллева классификация интегрируемых систем

373

9.8. Случай особенности типа фокус-фокус

9.8.1. Структура особого слоя типа фокус-фокус

Пусть L — особый слой лиувиллева слоения, содержащий одну или несколько особых точек типа фокус-фокус. Обозначим эти точки через х±, ... , хп. Напомним, что согласно теореме 1.5 главы 1 в окрестности точки ж* существует каноническая система координат pi,qi,P2,Q2 такая, что гамильтониан Н и дополнительный интеграл / могут быть представлены в виде

я = #(д,д),

/ = /(/ь/2),

где Д = pigi -\-p2q2, /2 = P2qi — Piq2- Отметим, что замена

(Я, /) -+ (h, /2)

является регулярной, и поэтому функции Д, Д локально можно представить как гладкие функции от Я и /. В частности, слоение, задаваемое интересующей нас парой функций Я и /, совпадает со слоением, задаваемым более простыми функциями Д и Д.

Для понимания локальной структуры слоения в окрестности особой точки удобно перейти к комплексным переменным

z = qi + iq2, w = pi — ip2.

Тогда функции Д и Д могут быть представлены соответственно как вещественная и мнимая части комплексной функции F = zw. Отсюда, в частности, следует, что особый слой L локально устроен как пара трансверсально пересекающихся лагранжевых дисков, задаваемых уравнениями z = 0 и w = 0. Замечание. Отметим, что вещественная особенность типа фокус-фокус совпадает с простейшей невырожденной комплексной особенностью типа двойной точки.

Отметим, что функция Д задает в окрестности особой точки типа фокус-фокус гамильтоново S'1-действие. Это сразу следует из того, что все интегральные траектории векторного поля sgrad Д замкнуты с периодом 27г. Причем это действие является свободным всюду за исключением единственной неподвижной точки, совпадающей с особой точкой типа фокус-фокус. Это легко следует из явного вида векторного поля sgrad Д, которое в комплексных координатах w и z записывается так:

w= iw, z= —iz.

Поэтому действие окружности S'1 задается простой формулой:

(z, w) —У (e~l(pz, el(pw).

Рассмотрим окрестность одной точки типа фокус-фокус и ее шаровую окрестность. Границей окрестности является 3-сфера, на которой указанное действие окружности задает расслоение, топологически эквивалентное известному расслоению Хопфа.
374

Глава 9

Изучим теперь структуру особого слоя L в целом. На нем лежит п особых точек типа фокус-фокус. В окрестности каждой из них особый слой представляет собой транс-версальное пересечение двух дисков. Условно можно изобразить их в виде окрестности вершины конуса (рис. 9.49). Утверждается, что весь особый слой L получается из таких пар путем их естественной склейки в цепочку (рис. 9.50). Получается последовательность 2-сфер, на каждой из которых отмечена пара точек, и соседние сферы склеены по этим точкам. Подчеркнем, что в каждой точке Xi две соседние сферы пересекаются трансверсально внутри 4-мерного многообразия. Этот же особый слой L можно представить и по-другому. Вспомним, что особый слой L «происходит» из двумерного тора, когда тот стремится к особому слою. Этот процесс можно представлять себе так: на торе выделяются п параллельных нетривиальных циклов, каждый из которых стягиваются в точку. Это — исчезающие циклы. В результате получается «тор с п перетяжками» (рис. 9.50). Получившуюся картину мы оформим в виде леммы.

Лемма 9.7. Особый слой L гомеоморфен двумерному тору с п «перетяжками», где п — число точек типа фокус-фокус, лежащих на слое L.

Доказательство.

Особый слой L состоит из орбит действия абелевой группы Ж2. Следовательно, каждая орбита может быть либо точкой (нульмерной орбитой), либо прямой или окружностью (одномерной орбитой), либо диском, тором или кольцом (двумерной орбитой). Ясно, что нульмерные орбиты — это в точности особые точки типа фокус-фокус, то есть точки х±, ... , хп. Далее мы утверждаем, что одномерных орбит нет вообще. Напомним, что по предположению, все орбиты действия Ж2 невырождены. В самом деле, если допустить существование невырожденных одномерных орбит, то они организуются в одномерные семейства (предложение 1.18 главы 1).
Предыдущая << 1 .. 163 164 165 166 167 168 < 169 > 170 171 172 173 174 175 .. 193 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed