Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим ребро многоугольника, на котором поле sgrad/1 отлично от нуля. Тогда на двух соседних ребрах поток sgrad/1 равен нулю. Картина поведения интегральных траекторий поля sgrad/1 показана на рис. 9.23. В одно из этих ребер поток втекает, а из другого вытекает. В результате получается полная картина поведения потока sgrad/1 в окрестности границы многоугольника, показанная на рис. 9.24.
Заметим теперь, что sgrad/1 не имеет нулей внутри многоугольника G. Применяя к рис. 9.24 стандартные рассуждения с индексом векторного поля, легко убеждаемся, что такая ситуация возможна лишь в случае, когда G является квадратом. Лемма доказана. ¦
Рис. 9.23
354
Глава 9
На рис. 9.25 изображена окончательная картина поведения траекторий обоих полей sgradД и sgradД на квадрате.
Подведем итог. Мы описали одномерные и двумерные клетки комплекса L. Его двумерные клетки являются квадратами, а одномерные — это ребра графов Ki и к2.
Лемма 9.4. Число квадратов равно 4s, где s — число особых точек особого слоя L.
Доказательство.
Пусть к — число квадратов. Подсчитаем общее число углов всех квадратов двумя способами. С одной стороны оно, очевидно, равно 4к. С другой стороны, в каждой особой точке Zi сходятся 16 углов, а таких разных точек s штук. Таким образом, общее число углов оказывается равным 16.9. Итак 16s = 4к, т. е. к = 4s. Лемма доказана. ¦
Лемма 9.5. Особый слой L является результатом погружения в М4 нескольких торов и бутылок Клейна.
Доказательство.
Разобьем стороны всех квадратов, участвующих в склейке L, на два класса. Первый класс — это ребра графов Ki и К2, в которые потоки sgrad Д и sgrad Д, соответственно, втекают. Второй класс, наоборот, — это ребра графов К\ и К2, из которых потоки sgrad Д и sgrad Д, соответственно, вытекают.
Выполним теперь частичную склейку квадратов, отождествляя друг с другом только ребра, принадлежащие одному классу. Отметим, что при полной склейке мы должны были бы отождествлять между собой ребра по четыре, поскольку каждое ребро комплекса L является четверной линией. Мы же разбили сейчас каждую четверку на две пары и отождествляем между собой только ребра, попавшие в одну пару.
Поскольку все ребра склеиваются теперь попарно, то мы получим некоторую замкнутую поверхность. Она разбита на квадраты, причем каждая вершина разбиения имеет, как нетрудно заметить, кратность 4. Подсчитывая эйлерову характеристику, получаем ноль. Значит, эта поверхность является несвязным объединением нескольких торов и бутылок Клейна. Продолжив склейки, получим погружение этого объединения в М4. Лемма доказана. ¦
Как мы покажем далее, особый слой L всегда является пространством типа К(тг, 1), т. е. все его гомотопические группы, начиная со второй, равны нулю.
Оказывается топология комплекса L не определяет однозначно структуру слоения Лиувилля в своей окрестности U(L). Оказывается для построения полного инварианта особенности достаточно объединить два уже построенных инварианта: комплекс L и /-тип. Этот новый инвариант будет удобен для перечисления возможных типов особенностей.
Рис. 9.25
Лиувиллева классификация интегрируемых систем
355
9.5.2. С1-тип особенности
Понятие С7-типа особенности было впервые введено А. В. Болсиновым и В. С. Матвеевым.
Напомним, что /-типом особенности седло-седло является пара атомов {V\, V2), где Vi = (Pi, Ki). При этом объединение графов Ki и К2 — это в точности одномерный остов комплекса L, а поверхности Pi и Р2 задают множество критических точек отображения момента, попавших в окрестность особого слоя.
Определение 9.4. Cl-типом особенности типа седло-седло называется тройка (L, Vi, V2) и пара вложений ^ : Ki —> L(1), где i = 1, 2, а № — это одномерный остов L.
В этом определении мы игнорируем ориентации на атомах V\ wV2. Комментарий. Таким образом, С7-тип является просто объединением двух объектов — I-типа, т.е. пары атомов (Vi, V2) и двумерного комплекса L. При этом, мы должны постоянно помнить, что объединение графов Кг и К2 — это в точности одномерный скелет 2-комплекса L. Эту информацию мы указываем, задавая и фиксируя два отображения ?1 и ?2 (см. выше). Таким образом, члены тройки (L, V\, V2) не являются независимыми, а сцеплены общим одномерным остовом комплекса L.
Теорема 9.3 (В. С. Матвеев). Cl-тип является полным инвариантом особенности типа седло-седло в смысле лиувиллевой эквивалентности. Это означает, что если две особенности седло-седло имеют одинаковый Cl-тип, то существуют инвариантные окрестности U(L) и U'(L') особых слоев L и V и послойный диффеоморфизм U(L) —> U'(L'), сохраняющий направление гамильтонова векторного поля на одномерных орбитах.
Доказательство будет дано ниже.
Эта важная теорема позволяет классифицировать и перечислять особенности типа седло-седло в порядке возрастания их сложности. При этом, под сложностью особенности седло-седло мы понимаем число s особых точек z±, ... , zs на особом слое L. Эта программа классификации будет также реализована ниже. Мы перечислим все особенности седло-седло сложности 1 и 2. Их оказалось, соответственно, 4 и 39.