Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Болсинов А.В. -> "Интегрируемые гамильтоновы системы " -> 168

Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.

Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы — И.: Удмуртский университет, 1999. — 444 c.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemi1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 162 163 164 165 166 167 < 168 > 169 170 171 172 173 174 .. 193 >> Следующая


Наконец, через j3 мы обозначаем дополнительную симметрию атома, которая для разных атомов имеет разный смысл. Каждый раз мы указываем действие симметрии Р явным образом. С этой целью мы указываем в таблице 9.1 — как именно симметрия действует на ребрах графа К атома. По этой информации действие симметрии на всем атоме восстанавливается однозначно.

В последнем столбце таблицы 9.3 указана группа, действующая на прямом произведении двумерных атомов. Все эти группы абелевы, за исключением последнего случая, когда на прямом произведении действует группа диэдра ?)4. Эта группа некоммутативна.

Во всех случаях действующая группа имеет не более двух образующих. Покомпонентное действие этих образующих на прямом произведении двух атомов указано в четвертом столбце таблицы 9.3. Например, в случае №32 на прямом произведении С2 х Р4 первая образующая е\ группы G = Ъ2 + Ъ2 действует по следующему правилу:

ei(С2 х Р4) = (а(С2) х 72(Р4)).

Это означает, что на первой компоненте, т. е. на С2, образующая е\ действует как симметрия а, а на второй компоненте, т.е. на Р4, — как симметрия у2. Обозначения для этих симметрий указаны в той же таблице 9.1 (в ее последней части). В рассматриваемом случае а — это центральная симметрия атома С2,

Рис. 9.46
Лиувиллева классификация интегрируемых систем

371

а 7 — поворот атома Р4 на угол ^ (в частности у2 — это тоже центральная симметрия).

Аналогичным образом, вторая образующая е2 группы G = Z2 + ^2 действует по правилу:

е2(С2хР4) = (/3(С2)х/3(Р4)).

9.7. Доказательства теорем 9.3 и 9.4

Доказательство теоремы 9.3.

Рассмотрим особый слой L типа седло-седло и его 4-окрестность U(L). Как мы видели выше, эта 4-окрестность может быть представлена в виде склейки элементарных

4-блоков вида «крест на крест». Число таких элементарных блоков в точности равно числу особых точек типа седло-седло, лежащих на особом слое L. Как склеивается U{L) из этих 4-блоков? Чтобы описать склейку, достаточно задать пары склеиваемых компонент 3-границ, то есть пары «трехмерных шайб», каждая из которых есть прямое произведение «крест на отрезок». Причем для каждой такой пары склеиваемых

3-шайб нужно указать правило их склейки.

Для этого нужно задать правило склейки креста с крестом и отрезка с отрезком. Если мы знаем комбинаторную структуру комплекса L, то мы, очевидно, знаем и структуру разбиения 3-компонент границы на пары. При склейке двух 3-шайб нужно описать — как склеиваются два соответствующих 2-креста и два 1-отрезка. Склейка двух 2-крестов однозначно восстанавливается по комбинаторной структуре комплекса L. Каждой такой склейке взаимно-однозначно отвечает некоторое ребро комплекса L. Каждое такое ребро является четверной линией, то есть на нем трансверсально сходятся четыре квадрата (рис. 9.47). Концевым точкам отрезка Si и Sj отвечают в U(L) два блока вида «крест на крест». Как они склеиваются? Граница каждого из них является произведением 2-креста на отрезок. Склейка двух 2-крестов, отвечающих вершинам Si и Sj, полностью задается четверной линией а (рис. 9.47). Осталось склеить два отрезка, на которые прямым образом умножаются 2-кресты.

См. рис. 9.48. Их можно интерпретировать как берега трансверсальных разрезов на одном из атомов Pi, или Р2, которому принадлежит ребро а. Структура этого атома однозначно диктует правило склейки этих двух отрезков между собой.

Рис. 9.48
372

Глава 9

Изложенное рассуждение показывает, что по С7-типу особенности однозначно, в комбинаторном смысле, восстанавливается правило склейки окрестности U(L) из элементарных блоков вида «крест на крест». _

Другими словами, на односвязной накрывающей U(L) действие фундаментальной группы Y = 7TiU(L) восстанавливается однозначно. Поскольку U(L) = = (U(L))/Y = (В х B)/Y, то 4-многообразие U(L) полностью определяется своим С7-типом. Дело в том, что универсальное накрывающее пространство для всех атомов — одно и то же. Более того, — как мы только что выяснили, — действие на нем фундаментальной группы Y, как группы скольжений, — также одно и то же. Следовательно, и фактор-пространства у них — изоморфны. Теорема доказана. ¦

Доказательство теоремы 9.4•

Пусть задан произвольный допустимый С7-тип. Нужно реализовать его как С7-тип некоторой особенности типа седло-седло. Как мы уже выяснили выше, для этого достаточно предъявить подгруппу Y в группе Aut х Aut такую, чтобы фактор-пространство (В х B)/Y обладало бы заданным заранее С7-типом. Берем 2-комплекс L и его универсальную накрывающую L. Утверждается, что эта универсальная накрывающая — одна и та же для любых допустимых 2-комп-лексов L. Чтобы доказать это, достаточно предъявить накрывающую L в явном виде. В качестве L мы возьмем особый слой в 4-комплексе ВхВ, описанный нами выше. Этот слой является прямым произведением двух «1-деревьев», каждое из которых в свою очередь является универсальным накрытием «восьмерки». Легко видеть, что 2-комплекс L удовлетворяет всем свойствам допустимого комплекса из определения 9.5, за исключением одного условия — конечности. Так как каждое «1-дерево» — бесконечно. Кроме того, проекция L —»¦ L, сохраняющая комбинаторную структуру допустимого комплекса, также восстанавливается однозначно в комбинаторном смысле. Дело в том, что если задать произвольным образом образ какого-то одного квадрата, с метками на его сторонах, то после этого отображение проекции однозначно распространяется во все стороны от этого начального квадрата. А именно, последовательно переходя через ребра склеенных квадратов, с учетом меток на них, мы в^конце концов перебираем все квадраты и определяем проекцию во всех точках L. _
Предыдущая << 1 .. 162 163 164 165 166 167 < 168 > 169 170 171 172 173 174 .. 193 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed