Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Приведем четыре круговые молекулы, соответствующие описанным выше особенностям типа седло-седло с ровно одной особой точкой на слое L.
Теорема 9.6 (А. В. Болсинов). Круговые молекулы особенностей типа седло-седло с ровно одной особой точкой на слое L, соответствующие случаям 1-4 из теоремы 9.5, перечислены на рис. 9.35.
'А
*______1/2.
1/1
с)
Рис. 9.35
А
d)
•
X
а
Рис. 9.36
Рис. 9.37
Схема доказательства. Рассмотрим особую точку у на бифуркационной диаграмме, которой отвечает особый слой L с ровно одной особой точкой седло-седло. Около точки у бифуркационная диаграмма имеет вид, показанный на рис. 9.36,
Лиувиллева классификация интегрируемых систем
361
т. е. две гладкие дуги трансверсально пересекаются в точке у. Пусть х — регулярная точка, близкая к точке у. Ее полный прообраз Т' ~\х) при отображении момента состоит из нескольких торов Лиувилля. При приближении точки х к точке у можно считать, что эти торы склеены из тех же самых квадратов, из которых склеен и особый слой L. Отличие состоит в том, что при построении слоя L эти квадраты склеиваются своими границами вдоль четверных ребер. То есть, на одном ребре сходятся 4 квадрата. При построении неособого слоя Т~г(х), эти же квадраты склеиваются по два. Другими словами, при смещении из точки у в точку х происходит распад особенности, показанный на рис. 9.37. Каждая особенность распадается двумя разными способами в зависимости от расположения точки х. Точка х может находиться в одном из четырех квадрантов, на которые дуги бифуркационной диаграммы разбивают окрестность особой точки у. Для каждого из этих квадрантов мы можем теперь явно выписать семейство торов Лиувилля. Кроме того, при переходе из квадранта в квадрант мы понимаем — как торы Лиувилля перестраиваются друг в друга. Другими словами, мы легко выявляем все бифуркации торов Лиувилля при переходе через дуги бифуркационной диаграммы. Эти бифуркации и являются атомами круговой молекулы. После этого остается для каждого из указанных выше четырех случаев провести конкретный подсчет, следуя описанной схеме. Детали мы опускаем и приводим на рис. 9.35 лишь окончательный результат.
Перейдем к классификации особенностей седло-седло сложности два. Прежде всего опишем априори возможные /-типы. Поскольку мы допускаем несвязность атома, то к списку атомов сложности два — Ci, С2, D1, D2 — нужно добавить два «несвязных атома»: В В и В В' (рис. 9.38).
Поскольку особый слой L связен, то по крайней мере один из атомов, участвующих в формировании /-типа, должен быть связным. Поэтому априори существует 18 различных /-типов сложности два.
Теорема 9.7 (А. В. Болсинов). Пусть особый слой L типа седло-седло содержит ровно две особых точки. Число различных особенностей, соответствующих фиксированному 1-типу указано в следующем списке:
(??,<70-7, (??, С2) — 7, (??, Di) - 6, (??, D2) - 6,
(??', Ci) — 1, (??', С2) — 1, (??', Di) — 0, (??', D2) - О,
(Ci,Ci)-l, (Ci,C2)~ 2, (Ci,Di)- 2, (Ci, D2) — 0,
(C2,C2)-2, (C2, Di) — 2, (C2, D2) - 0,
(Di,Di)~ 2, (Di,D2)~ 0,
(d2, d2) — 0.
Таким образом, всего насчитывается ровно 39 разных особенностей. Структура отвечающих им 39 особых слоев L изображена в таблице 9.1.
Доказательство этой теоремы проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 9.5. Каждый фиксированный /-тип мы снабжаем дополнительной структурой — биекцией между вершинами графов Ki и К2 и ориентацией их ребер. В данном случае, в силу малой сложности и симметрий атомов эта дополнительная структура выбирается однозначно с точностью до гомеоморфизма.
362
Глава 9
Затем мы перечисляем всевозможные допустимые заклейки одномерного остова К\ и К2 квадратами, пользуясь условиями (*), (**), (* * *).
Комментарий. Таким образом, существует 39 различных особенностей типа седло-седло сложности два. Отметим, что некоторые комплексы из этого списка гомеоморфны между собой. Мы уже обращали внимание на это обстоятельство: топология особого слоя не определяет, вообще говоря, топологию его окрестности. В данном случае особенности, имеющие одинаковые комплексы L, имеют, разумеется, Рис. 9.38 различные (Л-типы.
Комментарий. Аналогичным образом можно, классифицировать и все особенности типа седло-седло сложности 3. Их оказалось 256. Эта классификация оказалась более громоздкой и по этой причине здесь опущена. Вычисления на компьютере были выполнены Н. А. Максимовой.
В принципе, описанная процедура дает алгоритм перечисления особенностей любой сложности. Однако их число быстро растет с ростом сложности. Теорема 9.8 (В. С. Матвеев). Круговые молекулы особенностей типа седло-седло с двумя особыми точками на слое L, соответствующие 39 случаям из теоремы 9.7, перечислены в таблице 9.2.
Доказательство проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 9.6 и фактически заключается в аккуратном исследовании каждого из 39 случаев.
