Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Болсинов А.В. -> "Интегрируемые гамильтоновы системы " -> 161

Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.

Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы — И.: Удмуртский университет, 1999. — 444 c.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemi1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 155 156 157 158 159 160 < 161 > 162 163 164 165 166 167 .. 193 >> Следующая


Чтобы перейти к классификации особенностей, нам потребуется описать некоторые свойства С7-типа. Дело в том, что не любая тройка (L, V\, V2), заданная абстрактно, является допустимой, т. е. может быть реализована как С7-тип некоторой а>^

особенности.

Пусть нам дана некоторая абстрактная тройка (L, Vi, V2), где L — двумерный клеточный комплекс, Vi = (Р*, К^) — атомы одинаковой сложности s, т. е. с одинаковым числом вершин, Рис' равным s. Причем определены вложения &: Ki —> № , где i = 1, 2, а № — это одномерный остов L.

Определение 9.5. Абстрактная тройка (L, Vi, V2) с парой вложений ?1 и ?2 называется допустимым Cl-типом, если выполнены следующие условия:
356

Глава 9

1) Все ребра одномерного остова L можно разбить на два непересекающихся класса так, что множество ребер одного класса — это образ ребер графа К±, а множество ребер второго класса — это образ ребер графа К2. В частности, L(_К\) П ^2{К2). Ребра первого класса назовем iifi-ребрами и будем обозначать латинскими буквами, а ребра второго класса назовем ^-ребрами и будем обозначать греческими буквами.

2) Комплекс L склеен из 4s квадратов.

3) Противоположные стороны квадратов принадлежат одному классу ребер и имеют одинаковую ориентацию. Смежные ребра принадлежат разным классам (рис. 9.26).

4) Каждое ребро комплекса L является четверной линией (рис. 9.20). Это означает, что к нему примыкают ровно 4 квадрата с учетом кратности, т. е. один и тот же квадрат может примыкать к этому ребру двумя своими противоположными сторонами (рис. 9.27). Рассыпав комплекс на квадраты, мы увидим, что каждая буква встречается на ребрах квадратов по 4 раза.

5) Все углы у всех квадратов разные, т. е. буквенные метки и ориентации на сторонах разных углов — различны, т. е. не могут быть совмещены.

6) Рассмотрим фрагмент комплекса L, состоящий из двух квадратов, склеенных по стороне а (рис. 9.28). Ребра снабжены ориентациями, как показано на рис. 9.28. Пару ребер а, /3 можно рассмотреть как базис на атоме V2 в начальной точке ребра а (рис. 9.29). Пара ребер 7, 5 образуют базис на том же атоме V2, но — в концевой точке ребра а. Требуется, чтобы эти базисы определяли одинаковую ориентацию атома V2.

Чтобы прояснить это определение, переформулируем его несколько в других терминах.

Возьмем некоторый /-тип, т. е. просто пару атомов (Vi, V2). При этом, на их поверхностях Pi и Р2 задана и фиксирована ориентация, а также задана ориентация ребер графов К± и К2, согласованная со структурой атома. Имеется лишь два способа согласованно ориентировать ребра Ki на атоме Vi, а именно, если интерпретировать Ki как особую линию уровня функции fi, ориентацию следует взять либо по направлению потока sgrad/*, либо по направлению потока — sgrad/*. Ребра графа К\ пометим латинскими буквами, а графа К2 — греческими.

Фиксировав (Vi, V2), опишем допустимые комплексы L, которые можно приклеить к этим атомам. Комплекс L зададим как набор квадратов с ориентированными и мечеными сторонами. Предварительно зададим некоторую биекцию между вершинами атома V\ и вершинами атома V2. Напомним, что их поверхности Pi и Р2 пересекаются в многообразии М4 как раз по вершинам атомов V\ и V2
Лиувиллева классификация интегрируемых систем

357

(рис. 9.19). Это и задает взаимно-однозначное соответствие между вершинами данных атомов. Должны выполнять следующие условия:

Рис. 9.29

A) Граница каждого квадрата должна изображаться замкнутым путем в объединении графов Ki U К2. Иначе квадрат нельзя будет приклеить к одномерному остову.

B) Противоположные стороны квадратов имеют одинаковую ориентацию и принадлежат одному классу, т. е. являются либо Ki~, либо ^-ребрами. Смежные стороны принадлежат разным классам.

C) Комплекс L в окрестности своей каждой вершины, т. е. где пересекаются два атома, устроен как прямое произведение «крест на крест». Каждый такой крест можно интерпретировать как четверки ребер, инцидентных данной вершине в графах Ki и К2. Это сразу дает нам список углов всех квадратов, сходящихся в данной вершине. В частности, в каждой вершине сходятся 16 углов и все они различны. Пример показан на рис. 9.30.

D) Условие согласованности ориен-

таций. Два ребра графа К{, одно из которых входит, а второе выходит из некоторой его вершины, задают некоторую ориентацию на поверхности Pj.

Каждое ребро а (рис. 9.29), выйдя из некоторой вершины S, приходит в некоторую другую вершину S'. Вдоль ребра а скользит одномерный крест, заметая при этом двумерный комплекс (рис. 9.20 и рис. 9.31). В начале ребра крест задает некоторую ориентацию на поверхности Рг, поскольку можно фиксировать порядок концов креста. В конце ребра а, вернувшись на ту же поверхность Pi, он тоже задает некоторую ее ориентацию (рис. 9.31). Требуется, чтобы эти ориентации совпали.

Можно предложить еще одну интерпретацию описанных правил склейки. Комплекс L должен получаться так.

(*) Он склеен из квадратов.
Предыдущая << 1 .. 155 156 157 158 159 160 < 161 > 162 163 164 165 166 167 .. 193 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed