Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Вспомним теперь, что вид локальных диаграмм YXj нами был уже описан. См. главу 1 тома 1. С точностью до диффеоморфизма — это канонические бифуркационные диаграммы модельных особенностей. Эти бифуркационные диаграммы на самом деле «кусочно-линейные» и состоят из «кусков плоскостей». Более точно, для особенности ранга г нужно рассмотреть некоторый набор трансверсально пересекающихся плоскостей в евклидовом пространстве, в количест-
388
Глава 9
ве п — %. Получится некоторый клеточный комплекс. Искомые бифуркационные диаграммы T,Xj являются «его частями», то есть клеточными подкомплексами в «кусочно-линейных» комплексах указанного вида. См. рис. 1.12, главы 1, тома 1.
Определение 9.7. Невырожденная особенность слоения Лиувилля в М2п удовлетворяет условию нерасщепляемостщ если ее бифуркационная диаграмма ? в !п приводится некоторым диффеоморфизмом к канонической диаграмме, соответствующей типу данной особенности. См. главу 1.
Комментарий. В основу определения 9.7 мы положили свойства бифуркационной диаграммы данной системы. Дело в том, что приступая к анализу той или иной системы, необходимо сначала проверить выполнимость условия нерасщепляемос-ти. Реально такую проверку можно сделать именно на основе бифуркационной диаграммы, которая обычно известна.
Комментарий. Невырожденные особенности, удовлетворяющие условию нерас-щепляемости, являются в определенном смысле наиболее простыми. Их бифуркационные диаграммы «не содержат ничего лишнего». Мы имеем в виду следующее. Бифуркационная диаграмма невырожденной особенности общего вида, т. е. не обязательно нерасщепляемой, всегда содержит в себе некоторую каноническую бифуркационную диаграмму, как подмножество. Условие нерасщепляемости означает, что кроме этой канонической бифуркационной диаграммы в диаграмме «больше ничего нет».
Комментарий. Укажем пример невырожденной, однако расщепляемой, в указанном смысле, особенности. На рис. 9.60 изображен особый слой L слоения Лиувилля, на котором есть одна точка типа фокус-/ фокус и одна критическая седловая окружность. Эта
j окружность является линией касания 2-тора со сфе-
рой, у которой отождествлены две точки. Эти точки и дают особенность типа фокус-фокус. Ясно, что бифуркационная диаграмма этой особенности является Рис. 9.60 гладкой дугой. Дуга проходит через точку, в кото-
рую проектируются как точка типа фокус-фокус со слоя L, так и седловая критическая окружность. В смысле нашего определения, эта особенность конечно расщепляема. Она удовлетворяла бы условию нерасщепляемости, если бы состояла только из одной точки. В рассматриваемом случае есть «лишний кусок» — это дуга, проходящая через точку.
Здесь ясно виден один из механизмов, рождающих расщепляемые особенности. Появление «лишней» дуги связано с тем, что на особом слое одновременно с точкой максимального вырождения типа фокус-фокус лежит еще и замкнутая орбита пуассонова действия группы Ж2. В общем случае ситуация аналогична: сделанное нами ограничение запрещает существо-Рис. 9.61 вание на особом слое L ранга i замкнутых орбит раз-
Лиувиллева классификация интегрируемых систем
389
мерности больше i. Отметим, что в рассмотренном примере точка типа фокус-фокус и одномерная замкнутая орбита могут быть разведены на разные слои путем малого возмущения пуассонова действия Ж2. В результате особенность расщепится на две более простые особенности, которые уже будут удовлетворять условию нерасщепляемости.
Комментарий. Приведем второй пример невырожденной расщепляемой особенности. Рассмотрим двумерную поверхность Р2 в М3(ж, у, z), показанную на рис. 9.61. Функция высоты /(ж, у, z) = z имеет ровно одно критическое значение z = 0. Причем на соответствующем уровне функции лежат ровно две седловые критические точки а = (х±, у\, 0) и Ъ = (ж2, у2, 0). Пусть поверхность Р является неособой двумерной поверхностью уровня некоторой гладкой функции Н, то есть Р2 = {Н(х, у, z) = 0}. Рассмотрим 4-мерное евклидово пространство как симплектическое 4-многообразие М4 = М4(ж, у, и, v), с сим-плектической структурой ш = dx A dy + du A dv. Построим две функции Н и / на М4, положив:
Функции Н и f коммутируют на М4 и задают отображение момента М4 —> Ж2 (Н, /). Точки а и b в М4 с координатами а = (х±, у±, 0, 0) и b = (ж2, 2/2, 0, 0) являются изолированными невырожденными критическими точками типа центр-седло для слоения Лиувилля, определяемого функциями Н, /. Обе точки лежат на одном особом слое L слоения Лиувилля. Бифуркационная диаграмма отображения момента Т показана на рис. 9.62. Множество критических точек отображения момента состоит из трех компонент. Первая — это двумерная плоскость, состоящая из точек вида (ж, у, 0, 0). Все такие точки являются критическими для функции /. Вторая и третья компоненты тоже двумерны и порождены критическими точками а и Ь. Первая компонента проектируется при отображении момента Т в горизонтальную прямую (рис. 9.62), являющуюся границей верхней полуплоскости. Вторая компонента проектируется в левый луч, а третья компонента — в правый луч. Локальные бифуркационные диаграммы для каждой из точек а и b показаны на рис. 9.62. Это — прямая с левым лучом, и прямая с правым лучом. Видно, что ни одна из них не совпадает с полной бифуркационной диаграммой, которая состоит из прямой с обоими лучами. Следовательно, эта особенность неустойчива. Как и в предыдущем примере, описанная особенность слоения Лиувилля может быть сделана нерасщепляемой при подходящем малом шевелении пуассонова действия группы М2. Соответствующее возмущение изображено на рис. 9.63.
