Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Напомним, что как и выше, под особенностью слоения Лиувилля мы понимаем малую окрестность особого слоя, рассматриваемую с точностью до послойной эквивалентности. Можно говорить о ростке слоения в окрестности особого слоя.
Будем называть особенность слоения Лиувилля невырожденной, если все особые точки отображения момента Т, лежащие на особом слое, являются невырожденными в смысле определения 1.24 главы 1 тома 1. Возьмем особые точки минимального ранга г на особом слое L. Тогда для каждой такой точки определен ее тип, а именно, тройка целых чисел (mi, m2, Ш3), описанная в главе 1. Можно показать, что тип (mi, m2, m3) одинаков для всех особых точек минимального ранга на данном особом слое слоения Лиувилля. Следовательно, можно говорить о ранге г особого слоя слоения Лиувилля и о его типе (mi, m2, m3).
Прежде чем формулировать теорему, нам потребуется еще одно дополнительное условие на особенности слоения Лиувилля. Это условие — условие нерас-щепляемости — выделяет широкий и естественный класс таких особенностей. Во всех известных нам физических и геометрических примерах интегрируемых систем оно выполняется.
Начнем с простейшего примера. Пусть мы имеем интегрируемую систему с двумя степенями свободы. Рассмотрим ее ограничение на фиксированный регулярный уровень энергии Q3 = (Н = h). Выше мы определили топологическую устойчивость системы на Q3. Это означает, что при малом изменении уровня энергии h топологический тип слоения Лиувилля не меняется. Точнее, слоения Лиувилля на близких уровнях энергии послойно эквивалентны исходному слоению. На самом деле это условие носит локальный характер, и его можно переформулировать в терминах бифуркационной диаграммы отображения момента Т в окрестности каждого отдельного 3-атома в Q3.
Единственным случаем, когда система с невырожденными особенностями неустойчива, является ситуация распадения сложного 3-атома в объединение нескольких более простых 3-атомов. Это распадение можно увидеть непосредственно на бифуркационной диаграмме. Действительно, рассмотрим невырожденные критические окружности на данном 3-атоме. Все они находятся на одном уровне дополнительного ин-Рис. 9.59 теграла /. При отображении момента Т все они ото-
бражаются в одну и ту же точку. С другой стороны, каждая из этих окружностей включается в однопараметрическое семейство, возникающее при изменении h.
Лиувиллева классификация интегрируемых систем
387
Это семейство окружностей отображается в гладкую дугу на плоскости (Н, /). Количество таких дуг равно числу критических окружностей данного 3-атома.
Если распада 3-атома не происходит, то очевидно, что все эти дуги совпадают на плоскости Ж2 (Я, /). Наоборот, если 3-атом распадается, то среди критических окружностей есть такие, которые переходят на разные уровни интеграла /. Поэтому соответствующие кривые на плоскости (Н, /) расходятся (рис. 9.59).
Условие «нераспадения» 3-атома можно переформулировать еще и так. Рассмотрим особый слой L слоения Лиувилля в М4 и точки х, где отображение момента Т имеет минимальный ранг. В рассматриваемом случае — это точки х, лежащие на критических окружностях. Отметим, что при отображении момента Т весь слой L переходит в одну точку. Выберем на каждой такой критической окружности ровно одну точку, представителя х\. Для каждой точки х\ возьмем ее небольшую окрестность в М4, рассмотрим образ этой окрестности в Ж2 (Н, /) и ее локальную бифуркационную диаграмму T,Xi. Легко видеть, что диаграмма 'ЕХ{ не зависит от выбора представителя ж* на данной критической окружности. В результате мы получаем на плоскости Ж2 (Н, /) несколько локальных диаграмм вида Т,Х{, когда х\ пробегает все критические точки, лежащие на критических окружностях, на данном особом слое L.
Теперь условие нераспадения 3-атома формулируется так: все локальные бифуркационные диаграммы должны совпадать друг с другом и, следовательно, совпадать с диаграммой локально, в окрестности точки Другими словами,
бифуркационная диаграмма не расщепляется на несколько кусков.
Совершенно аналогичным образом условие нерасщепляемости переформулируется и для случая произвольных невырожденных особенностей, в том числе и для многомерного случая, т. е. с произвольным числом степеней свободы.
Для аналитических многомерных систем достаточно почти дословно повторить описанное выше определение. Рассмотрим невырожденную особенность лиувиллева слоения на М2п. Пусть L — соответствующий особый слой. Через обозначим локальную бифуркационную диаграмму отображения момента JF, ограниченного на достаточно малую окрестность слоя L в М2п. Рассмотрим теперь точки минимального ранга на особом слое L слоения Лиувилля. Можно показать, что эти критические точки заполняют критические торы размерности г. Выберем на каждом из них точку-представителя Xj. Построим для ее достаточно малой окрестности в М2п локальную бифуркационную диаграмму YXj в Ж71. Требуется, чтобы для всех точек-представителей {xj} эти бифуркационные диаграммы {ХЖ;/} совпадали между собой. Более того, здесь нужно еще дополнительно потребовать, чтобы в «ничего другого не было», то есть чтобы диаграмма совпала со всеми диаграммами Т>х. для всех Xj.
