Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
V 1P1-1 / W ’
где С — некоторая матрица. Матрица С и есть матрица монодромии данного расслоения. Отметим, что мы использовали здесь аддитивную запись, поскольку образующие а и (3 коммутируют.
Вычислим фундаментальную группу многообразия Qle, используя сначала структуру расслоения на торы Т'. В качестве 7 мы возьмем цикл 7 = fio(s) = = (ss-1, s) (см. выше). В качестве а и (3 возьмем два базисных цикла на торе Tw — (Н — 1, \z\ — е}, задающиеся следующими явными формулами в координатах (z, w):
а = (ее2’н, 1), 0 = (е, е"2"*), t е [0, 1].
Используя отображение ?, склеивающее многообразие Qle, и действующее по формуле ?: (z, w) —> (w_1, zw2), можно сразу выписать матрицу монодромии в базисе а,[3. Эта матрица задает отображение -0* фундаментальной группы тора. Она будет такова:
Следовательно, соотношения в фундаментальной группе многообразия Qle таковы:
7сгу-1 = /З-1, у(3'у~1 = а[32.
Перейдем теперь к другим образующим в фундаментальной группе многообразия Qle. А именно, к образующим, отвечающим расслоению многообразия на торы Лиувилля: Qle —> уе. На торе Т'<р, являющемся слоем этого расслоения, при (р = 0, возьмем образующие а = Ао, (3 = Цо (см. выше). Из явных формул для них сразу следует, что
а = а(3, /3 = 7-
В качестве цикла 7, однозначно проектирующегося на окружность уе, возьмем, например, а.
Перепишем теперь соотношения в фундаментальной группе Qle в новых образующих а, (3, 7. Отметим, что образующие а и (3 коммутируют, как базисные циклы, лежащие на торе Т^=q. Впрочем, в этом можно убедиться и формально, используя выписанные выше соотношения.
Интересующая нас матрица монодромии в новом базисе «с волнами» определяется так (см. выше):
( 7Й7-1 \ ~ (а\
Лиувиллева классификация интегрируемых систем
385
Подсчитаем элементы 70:7 1 и 7/З7 г. Получим: 70:7 1 = aaj3a 1 = af3 = а, и далее 7/?7-1 = сгуа:-1 = а(7о:_17_1)7 = а(37 = а/З. То есть, матрица монодромии С выглядит так:
Замечание. Из явного вида матрицы монодромии в случае особенности типа фокус-фокус видно, что она имеет «собственный вектор». Более точно, на каждом торе Лиувилля существует цикл, инвариантный относительно действия группы монодромии. Другими словами, во всей окрестности U(L) особенности типа фокус-фокус можно выбрать «гладкое поле окружностей». На самом деле это поле нам уже известно. Это — в точности орбиты действия окружности S1 на 4-многообразии U(L).
Замечание. Рассмотрим 4-многообразие U(L) \ L, которое, очевидно, является расслоением со слоем тор Лиувилля над двумерным диском без точки, т. е. над кольцом. Напомним, что мы рассматриваем случай особенности типа фокус-фокус, для которой бифуркационная диаграмма состоит из одной точки, из центра диска. Согласно теореме Дюистермаата на базе такого расслоения всегда существует целочисленная аффинная структура [275]. Другими словами, базу можно представить в виде объединения некоторого числа карт с локальными координатами так, что функции перехода из карты в карту задаются линейными аффинными преобразованиями с целочисленными матрицами. Рассмотрим группу голономии этой аффинной структуры. Это будет некоторая подгруппа в группе GL(2, Z). В нашем случае база двумерна. Легко видеть, что группа голономии в нашем случае просто совпадает с группой монодромии расслоения QJe —у 7е. И следовательно, как мы показали выше, изоморфна группе Z, образующая которой представлена матрицей
Замечание. В следующей части нашей книги мы приведем конкретные примеры физических систем, в которых встречаются особенности типа фокус-фокус. К таким системам относятся, в частности, известные интегрируемые системы Лагранжа и Клебша в динамике тяжелого твердого тела, а также — сферический маятник и уравнения движения так называемого 4-мерного твердого тела.
Замечание. Особенности типа фокус-фокус исследовались также в ряде других работ, например, в [265].
Замечание. Отметим, что локально особенность типа фокус-фокус можно рассматривать как особенность комплексной функции двух комплексных переменных. К таким особенностям можно применить (локально) классическую теорию Пикара-Лефшеца. В частности, характер монодромии тоже имеет естественную интерпретацию в рамках этой классической теории. Этот случай — простейший с точки зрения общей теории Пикара-Лефшеца. Однако с глобальной точки зрения особенность фокус-фокус не обязана быть комплексной (она комплексная лишь локально). Следовательно, при исследовании ее глобальных свойств нужны дополнительные соображения.
Теорема доказана.
386
Глава 9
9.9. Представление многомерных невырожденных
особенностей слоений Лиувилля в виде почти прямых произведений
Здесь мы кратко изложим теорему Т. 3. Нгуена [344]. Она обобщает уже доказанный выше результат о распадении четырехмерных особенностей слоений Лиувилля в почти прямые произведения 2-атомов. Оказывается, аналогичное утверждение справедливо и для широкого класса многомерных особенностей слоений Лиувилля интегрируемых систем с любым числом степеней свободы.
