Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Структура слоения Лиувилля в каждой из таких точек нам уже хорошо известна: согласно теореме 1.5 главы 1 оно представляет собой
прямое произведение расслоенного диска и расслоенного креста (рис. 9.12). Затем мы покажем, что при сделанных выше ограничениях обратная склейка окрестности U(L) из стандартных кусков проводится однозначно с точностью до послойной изотопии. В результате из локальных «прямых произведений» мы получим «глобальное прямое произведение», что и требуется. Эта же идея будет использована нами и в других случаях.
Отметим середины всех ребер графа К, т. е. слоя L, вложенного в 4-многообразие U(L).
Напомним, что U(L) является окрестностью
особого слоя L = К. См. рис. 9.11. В середине каждого ребра рассмотрим трехмерный диск, трансверсальный ребру графа L — К. Разрежем теперь 4-мно-гообразие U(L) по всем этим трехмерным шарам. Многообразие распадется в объединение 4-мерных блоков, каждый из них, очевидно, является регулярной окрестностью особой точки графа L и имеет поэтому структуру указанного выше прямого произведения.
Займемся теперь обратной склейкой. Начнем с того, что «улучшим» функции Н и / в окрестности особого слоя L. Сделаем регулярную замену
Й = Н(Н, /) и/ = /(#, /)
Рис. 9.12
такую, чтобы бифуркационная диаграмма в окрестности точки J-{x) «выпрямилась», то есть приняла вид, показанный на рис. 9.13: прямолинейный отрезок
348
Глава 9
ортогонально втыкается в середину другого отрезка. В результате две поверхности Pi и ?2 в М4 стали критическими невырожденными подмногообразиями для двух новых функций /, Н. Более точно, двумерная поверхность Pi — критическая для /, а Р2 — критическая для Н. При этом, Рг — критическое подмногообразие индекса Л = 1, то есть седловое. А Р2 — это критическое подмногообразие индекса А = 0, т. е. отвечающее минимуму. Мы оказались в ситуации обобщенной леммы Морса-Ботта (см. предложение 1.16 главы 1). Применим эту лемму. Тогда в некоторой окрестности 2-многообразия Р2 существуют две гладкие независимые, всюду на окрестности, функции х±, у\, что Н = х\ + у2. Аналогично, в некоторой окрестности поверхности Pi, являющейся несвязным объединением s экземпляров 2-дисков, т. е. атомов А, также существуют две гладкие независимые функции ж2,г/2 такие, что / = ж2г/2. На самом деле пока что эта пара функций ж2, г/2 определена не на всем элементарном 4-блоке, а лишь на его части, являющейся прямым произведением атома А на малую окрестность центра двумерного креста. Нам же нужно продолжить эту пару функций с этой окрестности на весь крест. Это, очевидно, можно сделать, не теряя их независимости и так, чтобы по-прежнему / = ж2г/2. В результате мы получаем четверку функций х±, yi, ж2, г/2 на всем элементарном 4-блоке. Они являются на нем регулярными гладкими координатами, — не обязательно, впрочем, сим-плектическими, — относительно которых
Н = х\+у\ И / = Х2У2-
Итак, на каждом 4-блоке определена структура 2-слое-ния, показанная на рис. 9.12. При склейке границ 4-блоков мы должны «хорошо» склеить 1-слои каждого «заполненного цилиндра» вида I х D2. Каждый такой 3-цилиндр расслоен на концентрические окружности, центры которых расположены на его оси — отрезке 7. См. рис. 9.14. Эти окружности являются следами слоев слоения Лиувилля на границе 4-блока. На границе блока они задаются уравнениями: Н = const и / = const. Следовательно, для каждой такой окружности на границе одного 4-блока мы всегда можем найти ровно одну соответствующую окружность на границе соседнего блока, а именно, взяв окружность с точно такими же значениями функций Н и /. См. рис. 9.14. Склеиваем эти окружности. Ясно, что тем самым мы однозначно задаем, с точностью до послойной изотопии, диффеоморфизм склейки двух «краевых» 3-цилиндров I х D2. Осталось заметить, что функции Н и / заданы глобально на всем 4-многообразии U(L), что дает нам возможность производить все склейки по стандартному и однозначно определенному правилу. Ясно, что в результате на U(L) естественно возникает структура прямого произведения двух атомов А и V.
Пункты (а), (б), (в) теоремы немедленно следуют из этого утверждения.
I I
Рис. 9.14
Лиувиллева классификация интегрируемых систем
349
Перейдем к вычислению круговой молекулы. На рис. 9.15 показана дуга уе, прообразом которой является
3-многообразие Qs. Точке у2 отвечает седловая бифуркация. Поскольку особенность х имеет тип прямого произведения А х V, то ясно, что эта бифуркация отвечает атому V. Аналогично, точкам у\ и у3 отвечают бифуркации-атомы А. Поэтому молекула, пока без меток, очевидно имеет требуемый вид, показанный на рис. 9.10. Осталось найти метки.
Рассмотрим точку на произвольном ребре молекулы и отвечающий ей тор Лиувилля. На это торе возьмем два цикла. Первый — тот, который сжимается в точку при подходе к точке у\.
Второй цикл — это тот, который превращается в седловую критическую окружность при подходе к точку у2. Очевидно, что это — один и тот же цикл. Этот цикл показан на рис. 9.9 как одна из окружностей, на которые расслоен атом А. В смысле имеющейся структуры прямого произведения этот цикл представляет собой неособый слой атома А, умноженный на вершину атома V. Как мы знаем из главы 4, это означает, что соответствующая r-метка равна бесконечности. Следовательно, на всех ребрах молекулы нужно поставить г-метки, равные бесконечности.
