Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Заметим также, что тип особенности по своей природе напоминает понятие индекса особой точки в классической теории Морса. Однако в классическом случае аналог доказанного нами утверждения неверен: особый слой может содержать особые точки разных индексов.
Замечание. Подмногообразия Pi и Рг могут быть несвязными, но в то же время их объединение всегда связно, как будет показано ниже.
Рассмотрим пары Vi = (Н\р1, Pi) и V2 = (Н\р2, Р2), где Н — гамильтониан. Из пункта 2 предложения 9.1 следует, что функция Н задает на каждой поверхности Pi и Р2 структуру атома. При этом точки zi, ... , zs являются вершинами этого атома. Таким образом, Vi и V2 являются двумя атомами, естественно связанными с особым слоем L и точкой г/о- Отметим, что оба атома Vi и V2 ориентируемы, поскольку соответствующие им поверхности Pi и Р2 — симплектические, а следовательно, — ориентируемые.
Замечание. Подчеркнем, что в отличие от предыдущего здесь мы разрешаем атомам Vi и Vi быть несвязными.
Определение 9.1. Пара (Vi, V2) называется 1-типом особенности отображения момента Т в точке уо Е X.
Замечание. В случае фокус-фокус понятие ?-типа отсутствует.
Типы атомов Vi и V2 полностью определяются типом особенности. А именно:
342
Глава 9
а) если особенность имеет тип центр-центр, то атомы Vi, V2 оба имеют тип А,
б) если особенность имеет тип центр-седло, то один из атомов имеет тип А, а другой атом — седловой,
в) в случае седло-седло оба атома — седловые.
Понятие /-типа полезно для классификации 4-мерных особенностей. Идея состоит в следующем. Можно ввести естественное понятие сложности 4-мерной особенности как числа особых точек z\, ... , zs на особом слое L. Ясно, что число s является сложностью атомов V\ и V2, т. е. s — число их вершин. Поэтому для 4-мерной особенности фиксированной сложности имеется лишь конечное число возможных /-типов, и все их можно перечислить. Фиксируя /-тип, можно затем попытаться описать все соответствующие ему 4-мерные особенности. Отметим впрочем, что /-тип не является полным различающим инвариантом, поэтому может существовать несколько разных особенностей с одним и тем же /-типом. Однако, как мы покажем далее, число особенностей с одним и тем же /-типом всегда конечно.
9.2. Круговая молекула четырехмерной особенности
Опишем еще один полезный инвариант особенностей отображения момента Т. Пусть X — бифуркационная диаграмма, расположенная в плоскости Ж2 (Я-, /). Как мы уже видели, обычно бифуркационная диаграмма представляет из себя набор гладких кривых, которые могут пересекаться или касаться друг друга в некоторых точках. Кроме того, X может содержать изолированные точки. Гладкие дуги 71, ... , 7* диаграммы X как правило соответствуют однопараметрическим семействам невырожденных одномерных орбит пуассонова действия группы Ж2. Предположим, что это условие выполнено. Диаграмма обычно имеет особые точки. Точка уо из X называется особой, если она принадлежит к одному из следующих двух типов. _
Тип 1: точка принадлежит образу f(K \ К), где К — множество невырожденных замкнутых одномерных орбит пуассонова действия Ж2 на М4.
Тип 2: точка уо является точкой пересечения (или самопересечения) гладких дуг диаграммы X.
Обозначим множество особых точек диаграммы X через Х0. Обычно Х0 — это конечное множество изолированных точек. Если X представлять в виде одномерного клеточного комплекса, то Xq — это как раз множество его вершин.
Теперь введем понятие допустимой кривой.
Определение 9.2. Гладкая параметризованная кривая т без самопересечений в плоскости Ж2 (Н, /) называется допустимой, если она пересекает бифуркационную диаграмму X трансверсально и не проходит через особые точки бифуркационной диаграммы X (рис. 9.5).
Лиувиллева классификация интегрируемых систем
343
Рассмотрим теперь полный прообраз QT = J-{t) в М4. Для допустимой кривой т это — трехмерное гладкое многообразие. Параметр t параметризованной кривой т(?) может быть рассмотрен как гладкая функция на 3-многообразии QT. Эта функция, очевидно, является боттовской, если т — допустимая кривая. При этом мы, конечно, считаем, что многообразие QT является изоэнергетической поверхностью для гамильтоновой системы с гамильтонианом НТ(Н, /), который обладает тем свойством, что на плоскости M2(i7, /) кривая задается уравнением {Нт = const}. Тем самым, на QT имеется структура слоения Лиувилля, а следовательно, возникает инвариант этого слоения — меченая молекула W*, которую мы обозначим через W*(t).
Лемма 9.1. Молекула W*(t) не меняется при гладкой изотопии ts кривой т на плоскости М2 в классе допустимых кривых.
Доказательство получается обычными рассуждениями. ¦
Пусть теперь уо из So — некоторая изолированная особая точка бифуркационной диаграммы. Рассмотрим окружность т малого радиуса с центром в точке уо. Предположим, что т — допустимая кривая и что она остается таковой при уменьшении ее радиуса.
