Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
7 г г а) о) с) а)
ЮТ НеКОТОрЬЮ инварианты общей приро- центр-центр седло-центр седло-седло фокус-фокус
ды, которые мы здесь опишем.
тт Рис 9 1
Наложим следующие естественные
условия на интегрируемую систему.
Условие 1. Каждый слой слоения Лиувилля компактен.
Условие 2. Все особые точки, лежащие на слое L, являются невырожденными. (См. определение 1.23 из главы 1).
Условие 3. Бифуркационная диаграмма в окрестности точки T{xq) в образе отображения момента Т имеет вид, показанный на рис. 9.1(а,b,c, d).
338
Глава 9
Рис. 9.2
а) седло-седло Ь) центр-седло Рис. 9.3
Комментарий (к условию 3). Первая запрещенная ситуация показана на рис. 9.2, когда две дуги бифуркационной диаграммы касаются друг друга в особой точке у0 = J-(xo) с бесконечным порядком касания. Эта ситуация возможна для гладких систем, но невозможна для аналитических. Вторая запрещенная ситуация показана на рис. 9.3(a). Здесь в одну и ту же особую точку J-(xo) бифуркационной диаграммы проектируются несколько различных точек, например, типа седло-седло. Каждая из них дает «крестик» на бифуркационной диаграмме, но эти крестики для разных точек не совпадают. В случае центр-седло мы запрещаем аналогичные ситуации, показанные на рис. 9.3(b).
Условие 4. Прямые, задаваемые уравнением Н = h = const, пересекают бифуркационную диаграмму Е трансверсально в окрестности точки з/0.
Комментарий (к условию 4). Для изучения структуры слоения на торы Лиувилля это условие не очень существенно, поскольку заменяя гамильтониан Н на функцию вида Н = Н + А/ всегда можно добиться его выполнения. Однако это условие приобретает нетривиальный смысл, если мы хотим выделить гамильтониан Н из двумерного семейства коммутирующих функций. Например, это условие будет гарантировать, что гамильтоново векторное поле sgradН не имеет никаких других положений равновесия кроме особых точек, лежащих на слое L.
Условие 5. Без ограничения общности, можно считать, что особый слой L является полным прообразом точки уо при отображении Т, и его 4-окрестность U является полным прообразом некоторого диска с центром в точке у0.
Комментарий (к условию 5). Это условие попросту означает, что мы рассматриваем связную компоненту прообраза Jr~1(y0) точки уо ? Е и соответствующую связную компоненту прообраза ее окрестности.
Условие 6. Будем считать все рассматриваемые в этой главе объекты, — а именно, многообразия, симплектические структуры, гамильтонианы, интегралы, — вещественно-аналитическими.
Комментарий (к условию 6). Это условие на самом деле не очень существенно. Все утверждения остаются справедливыми и для гладкого случая. Но для доказательства соответствующих «гладких утверждений» нужны гладкие аналоги теорем 1.5 и 1.7 (из главы 1), которые мы в нашей книге не доказываем. Насколько нам известно, полное доказательство этих фактов нигде до сих пор не опубликовано. См. подробности в приложении 3 к настоящей книге.
Рассмотрим в окрестности U4 строение множества К критических точек отображения момента Т. Для точек первых трех типов множество К состоит из двух частей Pi и Р2 — грубо говоря, прообразов двух гладких дуг 71 и 72
Лиувиллева классификация интегрируемых систем
339
бифуркационной диаграммы, пересекающихся в ее особой точке. Более точно,
Pi = пк, р2= г-гЫ п к.
Предложение 9.1. Пусть zi,...,z8 — невырожденные критические точки отображения момента Т, лежащие на особом слое L = ^Г_1(г/о). Тогда:
1) Pi и Р2 являются двумерными симплектическими многообразиями с краем, пересекающимися трансверсально в точности в точках zi, ... , zs.
2) Гамильтониан Н, ограниченный на подмногообразия Pi и Р2, является функцией Морса с единственным критическим значением, а его особые точки совпадают с точками zi, ... , zs.
3) Все критические точки zi, ... , zs, лежащие на особом слое L, обязательно имеют один и тот же тип. Другими словами, они все одновременно имеют либо тип седло-седло, либо седло-центр, либо центр-центр.
Доказательство.
1) Множество критических точек К состоит из нульмерных и одномерных орбит пуассонова действия абелевой группы Ж2, порожденной сдвигами вдоль интегральных траекторий полей sgrad / и sgrad if. Все точки zi, , z8 невырожде-
ны по предположению, а потому изолированы. Ясно, что они являются нульмерными орбитами группы Ж2. Никаких других нульмерных орбит в окрестности особого слоя L, очевидно, нет. Поэтому нам нужно изучить поведение и характер одномерных орбит в окрестности особого слоя L. Мы утверждаем, что все эти одномерные орбиты являются невырожденными. Легко видеть, что каждая из таких орбит проходит вблизи какой-то точки из множества точек zi, ... , zs. Поэтому достаточно убедиться, что любая одномерная орбита, проходящая через окрестность точки Zi — невырождена. Это легко следует из локальной структуры особенности отображения момента в невырожденной особой точке Z{. Действительно, согласно теореме 1.5 из главы 1, в окрестности точки Z{ существуют регулярные гладкие координаты pi, р2, <?i, q2, относительно которых функции Н и / запишутся в виде:
