Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
на всех радикалах молекулы.
Этап 3. Теперь мы можем считать, после замены сечений, что в избыточных оснащениях ТиТ' совпадают все «седловые атомные параметры», т. е. (A, A, Z). Кроме того, совпадают параметры 9. Напомним, что 9 — это функция от матриц
Траекторная классификация. Второй шаг
325
склеек С и векторов вращения R+ и R~. Мы утверждаем, что на всех ребрах молекулы W, соединяющих пары седловых атомов, из сказанного выше уже автоматически вытекает совпадение матриц склеек С и С', а также векторов вращения R+ и R~, Rr+ и R'~. В самом деле, пусть е — ребро, соединяющее два седловых атома. Возможны три случая:
а) ребро е — конечно,
б) ребро е — бесконечно,
в) ребро е — супербесконечно.
Последовательно разберем все три случая.
Этап 4-а. Пусть ребро е — конечно, т. е. r-метка ^ — конечное число (/3 ф 0).
И
Разбивая молекулу W на радикалы, мы должны разрезать все конечные ребра, в том числе и ребро е, посередине. В результате разрезанное ребро превращается в два внешних ребра некоторых радикалов. На каждом из них у нас присутствовало число вида 9. Таким образом, ребру е отвечают два числа, которые мы обозначим через 9+ и 9~, где знак определяется направлением, ориентацией исходного ребра е в молекуле W. Из определения параметров вида 9 следует, что
д+ _ д _ 6' „ а- _ а _ а'
9 ~-0--?Ив -p~w
Здесь а, /3, S, у — целые числа, являющиеся коэффициентами матрицы склейки С, стоящей на данном ребре. Числа а и (3 взаимно простые, так как определитель матрицы С равен —1. Кроме того, знаки /3 и /3' совпадают, поскольку совпадают е и е', которые и указывают знак (3 и (3'. Отсюда следует, что матрицы С и С' совпадают. Теперь нужно доказать, что совпадают и векторы вращения. Они восстанавливаются при помощи следующих явных формул из вектора вращения R и коэффициентов матрицы склейки С (см. определение 8.3):
R = (3R~ — а.
Вектор R+ можно восстановить по вектору R~ и матрице склейки С, которая является матрицей перехода от базиса А-, ц~ к базису А+, ц+ (предложение 1.14). Итак, мы полностью восстановили на ребре е матрицу склейки С и векторы вращения R+ и R~.
Этап 4-6. Пусть ребро е бесконечно, т. е. (3 = 0. При этом нам известно, что векторы вращения R+ и R~ содержат хотя бы один конечный элемент. Опять на ребре е возникают два числа 9+ и 9~, как и в пункте 4-а. При этом 9+ = MR+ (= среднему арифметическому всех конечных компонент вектора R+) и 9~ = MR~. Кроме того, нам задан вектор R mod 1, где R = R~ по определению. Ясно, что зная 9~ и R mod 1, можно однозначно восстановить сам вектор R~. Далее, используя формулу р+ = —р~ —еу, получаем, что R+ = — R~ —?7. Поскольку 9+ является средним арифметическим вектора R+, то аналогичную формулу получаем и для 9+, т. е. 9+ = —9~ —еу. Следовательно, из этих формул
326
Глава 8
можно однозначно восстановить и число 7, так как г нам известно. Восстановив R~, мы теперь можем восстановить и вектор R+, опираясь на формулу, приведенную выше. В случае бесконечного ребра матрица склейки С устроена очень просто, а именно:
Следовательно, она также однозначно восстанавливается по 7 и е. Итак, мы однозначно восстановили С, R+ и R~.
Этап 4-в. Пусть теперь ребро е супербесконечно, т. е. [3 = 0 и вектор вращения R не имеет ни одной конечной компоненты. В этом случае ребро е является внутренним ребром некоторого радикала U. На этом ребре стоит число 9, рав-
7
ное — —. Но а = ?, следовательно, как и в пункте 5-в, матрицу С можно однозначно восстановить. Далее, вектор R~ не содержит конечных элементов, поэтому приведение его по модулю 1 никакой информации не уничтожает. Вектор R+ выражается через R~ по формуле: R+ = — R~ — ?7 и, следовательно, может отличаться от R~ лишь «знаком бесконечностей», его составляющих. Отметим, что 7 вообще не влияет на бесконечные компоненты.
Резюме: сделав описанную выше замену сечений внутри седловых атомов, мы добились того, что совпали все матрицы склейки С и все векторы вращения R+ и R~ на всех ребрах, соединяющих седловые атомы в молекуле W. Осталось разобраться с ребрами, один из концов которых есть атом А, или оба конца — атомы А.
Этап 5. Пусть ребро е соединяет седловой атом с атомом А. Здесь возможны два случая: ребро е конечное или ребро е бесконечное. Супербесконечным ребро е здесь быть не может.
Пусть ребро е конечно.
Пусть, для определенности, оно направлено от седлового атома к атому А. Параметр стоит на ребре е. Он равен Как и выше, зная знак /3, т.е. ?, которое
г'
нам известно, мы можем однозначно восстановить пару целых чисел а и /9, т. е. первую строку матрицы склейки С. Вторую ее строку восстановить однозначно нельзя. Но мы еще не использовали возможность замены сечений внутри атомов А. Выше мы делали такие замены лишь внутри седловых атомов. Теперь, делая подходящую замену внутри атома А, мы добиваемся того, что матрицы склейки С vi. С' совпали. Это, конечно, можно сделать. Далее, как и на этапе
