Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
3-сфере pl+qf+p2 + q% = ?, задаваемого на этой сфере функцией / = p% + q%. Слоение, порождаемое ею на 3-сфере, хорошо известно и задается молекулой А------А
с меткой г = 0 (см. предложение 4.3 главы 4). Теорема доказана. ¦
Замечание. Стоит отметить, что особенность типа центр-центр имеет вид прямого произведения атома А на атом А.
См. рис. 9.8. Как мы увидим далее, аналог этого обстоятельства справедлив для любых невырожденных особенностей. В более сложных случаях, вроде седло-седло, особенность будет иметь вид «почти прямого» произведения, то есть фактора прямого произведения двух атомов по свободному действию некоторой конечной группы.
Замечание. В конкретных примерах механических систем особенности вида центр-центр в точности отвечают устойчивым невырожденным положениям равновесия. Они встречаются практически во всех интегрируемых системах.
9.4. Случай центр-седло
Пусть х — особая точка типа центр-седло в 4-многообразии М, L — проходящий через нее особый слой и U(L) — его 4-мерная окрестность в М.
Приведем пример особенности типа центр-седло. Рассмотрим произвольный седловой атом V = (Р, К) и один атом А. Эти 2-атомы являются двумерными поверхностями с симплектической структурой, причем на каждом из них задана функция fi и f2 (соответственно), определяющая на соответствующей поверхности структуру атома, т. е. одномерное слоение Лиувилля с единственным особым слоем. Рассмотрим прямое произведение А х V и определим на нем симплектическую структуру как сумму исходных симплектических структур на А и V. См. рис. 9.9. Функции /i и /2 естественным образом поднимаются
346
Глава 9
на это прямое произведение и коммутируют относительно указанной симплектической структуры. Поэтому они определяют слоение Лиувилля. Легко видеть, что оно имеет ровно одну особенность типа центр-седло, причем прямое произведение А х V является регулярной окрестностью одномерного особого слоя L. Особой слой L — это в точности граф К атома V. Точки типа центр-седло — это в точности вершины атома V. В дальнейшем будем обозначать такую каноническую особенность через А х V.
Рис. 9.9 Рис. 9.10
Теорема 9.2. Любая особенность типа центр-седло лиувиллево эквивалентна канонической особенности вида А х V для некоторого подходящего седлового атома V = (Р, К). При этом справедливы также следующие утверждения.
а) Особый слой L совпадает с графом К атома V.
б) Окрестность U(L) является прямым произведением двумерного диска на двумерную поверхность Р.
в) 1-тип этой особенности имеет вид (sA, V), где s — это число вершин графа К. Через sA здесь обозначено несвязное объединение s экземпляров атома А.
г) Круговая молекула особенности центр-седло имеет вид, показанный на рис. 9.10, причем r-метки на всех ребрах равны бесконечности. На всех входящих ребрах атома V, — например, на левых на рис. 9.10, — метка е одна и та же, и путем выбора ориентации может быть сделана равной +1. Тогда на всех исходящих ребрах ребра атома V, — справа на рис. 9.10, — метка одна и та же и равна — 1.
д) Изоэнергетическая 3-поверхность Q, отвечающая круговой молекуле особенности центр-седло, является связной суммой s + 1 экземпляров 3-многообразий S1 х S2, т. е.
Q = (S1 х S2)# ... #(*Srl х S2) (я + 1 раз).
Доказательство.
Выше было доказано, что все особые точки на связном особом слое L всегда имеют один и тот же тип. Пусть s — число особых точек на слое L. Все они имеют тип центр-седло. Рассмотрим любую из них. В ее окрестности всегда можно выбрать локальную регулярную систему координат pi, qi, Р2, <72? относительно которой слоение Лиувилля задается парой коммутирующих функций р\ + qf и p2q2• Следовательно, особый слой в окрестности каждой особой точки выглядит как одномерный крест, т. е. как два трансверсально пересекающихся отрезка.
Лиувиллева классификация интегрируемых систем
347
Следовательно, весь особый слой L получается склейкой таких «крестов», т. е. является некоторым графом с s вершинами, каждая из которых имеет кратность 4. Обозначим его через К. Сейчас мы увидим, что он естественным образом вкладывается в некоторый 2-атом V.
Действительно, как мы показали выше, множество особых точек отображения момента, попавших в окрестность U(L), представляет собой две трансверсально пересекающиеся поверхности. Поскольку мы рассматриваем сейчас особенность типа седло-центр, то одна из этих поверхностей Pi представляет собой несвязное объединение s экземпляров атома типа А, а другая Р2 имеет структуру седлового атома V = (Р2,К2). Легко видеть, что особый слой L целиком состоит из критических точек, поэтому он целиком лежит в поверхности Р2. Кроме того, H(L) = const, поэтому L — это не что иное как граф К2.
Идея дальнейшего доказательства довольно естественна. Мы разрежем окрестность U(L) на некоторые стандартные куски, каждый из которых представляет собой регулярную окрестность особой точки типа седло-центр.
