Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Болсинов А.В. -> "Интегрируемые гамильтоновы системы " -> 159

Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.

Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы — И.: Удмуртский университет, 1999. — 444 c.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemi1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 153 154 155 156 157 158 < 159 > 160 161 162 163 164 165 .. 193 >> Следующая


Как ведут себя поля sgrad Н, sgrad/1 и sgrad/2 на одномерных орбитах?

Поток sgrad/1 течет и нетривиален вдоль 1-орбит, попавших в Pi. При этом он обращается в нуль на 1-орбитах, оказавшихся в Р2. Другими словами, поток sgrad/1 течет по ребрам графа Ki и неподвижен на ребрах графа К2.

Поле sgrad/2 ведет себя аналогично: он течет по ребрам рис. 9.20

графа К2 и неподвижен на ребрах графа К\.

Поток sgradН нетривиален на всех одномерных орбитах, как в Pi, так и в Р2. Причем, он течет в том же направлении, что и потоки sgrad/1 и sgrad/2

дН

на соответствующих ребрах. Это следует из условия, что > 0 для г = 1, 2, наложенного нами выше.
352

Глава 9

Переходя к двумерным орбитам G действия Ж2, отметим общий факт: точки, лежащие в замыкании двумерной орбиты, но ей не принадлежащие, обязательно содержатся либо в одномерных, либо в нульмерных орбитах действия. Другими словами, G \ G С (Ki U К2).

Пусть теперь G — двумерная орбита пуассонова действия Ж2 (Н, /), принадлежащая особому слою L и содержащая в своем замыкании точку z\. Известно, что двумерная орбита пуассонова действия диффеоморфна либо тору, либо цилиндру, либо плоскости. Как мы уже видели выше, тор и цилиндр исключаются, поэтому орбита G диффеоморфна плоскости. Рассмотрим ее замыкание G. Посмотрим, как она подходит к своим граничным точкам, лежащим в К\ U К2.

К нульмерным орбитам, т. е. к вершинам zi, ... , zs графа К\ U К2 она каждый раз подходит одинаковым образом. Как мы уже видели выше, в окрестности точки Zi особый слой L локально представляет собой прямое произведение 7x7. Оно, очевидно, допускает естественную стратификацию на нульмерные, одномерные и двумерные страты.

Легко видеть, что здесь имеется 16 двумерных стратов, каждый из которых является частью двумерной орбиты, попавшей в окрестность особой точки Zi. С другой стороны, очевидно, что замыкание каждого страта представляет собой гладкое погружение «прямого угла» в М4. Таким образом, орбита G вблизи особой точки Zi выглядит как обычный угол с вершиной Zi, стороны которого являются ребрами двух разных графов К\ и К2. Отметим, что орбита может несколько раз возвращается к одной и той же особой особой точке, поэтому ей может отвечать несколько различных углов.

К одномерным орбитам, т. е. к ребрам графа К\ U К2, двумерная орбита также каждый раз подходит «хорошо», т. е. в виде фрагмента полуплоскости — одного из четырех гладких листов, показанных на рис. 9.20. Конечно, одна и та же орбита может возвращаться к одному ребру несколько раз. На самом деле, как мы сейчас покажем, — не более двух.

Лемма 9.2. Замыкание каждой двумерной орбиты G С L является многоугольником с четным числом сторон, гладко погруженным в М4.

Доказательство.

Тот факт, что замыкание G является погруженным многоугольником сразу следует из только что описанного поведения орбиты вблизи своих граничных точек.

здесь на какое-то другое ребро, но уже гра-Рис. 9.21 фа ^ gTQ слеДует из локального поведения

орбиты вблизи особой точки (см. выше). Пройдя до конца это ребро графа К2, мы вновь повернем на какое-то ребро графа Ki. И так далее до тех пор, пока

Нужно лишь доказать четность числа его сторон. Этот факт почти очевиден. В самом деле, пусть х — точка на границе 2-орбиты G, лежащая, например, на каком-то ребре графа К\. Двинемся по орбите вдоль этого ребра в какую-нибудь сторону. Дойдя до ближайшей вершины графа Ki, мы вынуждены будем повернуть
Лиувиллева классификация интегрируемых систем

353

мы не вернемся в начальную точку. Подчеркнем, что такое движение полностью и однозначно диктуется нам орбитой G, примыкающей к графу К\ U К2 своей границей. Другими словами, мы последовательно движемся вдоль ребер графа К1 U К2, перемещаясь по орбите G вблизи ее границы (рис. 9.21). Поскольку у каждой вершины мы меняли граф, то число сторон, мимо которых мы прошли — четно. Лемма доказана. ¦

Таким образом, G можно рассматривать как погружение в М4 многоугольника G с четным числом сторон. Его внутренность диффеоморфно отображается на орбиту G, а стороны переходят в некоторые ребра графа Ki U К2. Другими словами, орбиту G можно интерпретировать как двумерную клетку, приклеиваемую к одномерному остову K\{JK2 по некоторому отображению своей границы. Лемма 9.3. Многоугольник G является квадратом.



X

Рис. 9.22

Замечание. Это означает, что у него только четыре стороны. Ясно, что в этом случае одна пара его противоположных сторон отображается в граф Ki, а другая — в граф К2. Заметим, что рассматриваемое нами погружение G —> G С М4 вложением, вообще говоря, не является. Некоторые вершины и даже стороны могут склеиться между собой. Однако на внутренности квадрата G и на внутренности каждой стороны это погружение будет вложением.

Доказательство.

Рассмотрим два коммутирующих векторных поля sgrad и sgrad/2 на замыкании G орбиты G. Поскольку G является погружением G, то оба поля можно поднять на многоугольник G. Число его сторон четно, причем половина сторон отображается на ребра графа К1, а другая половина — на ребра графа К2, чередуясь между собой. Пусть а — произвольная сторона многоугольника G, принадлежащая графу Кi после погружения в М4. Рассмотрим поведение поля sgrad/2 в окрестности ребра а. Ребро а является невырожденной одномерной орбитой действия группы М.2, следовательно, интегральные траектории поля sgrad/2 трансверсально входят в ребро а, или выходят из него. На самом же ребре а поле sgrad/2 равно нулю (рис. 9.22). Аналогичное рассуждение для потока sgrad/1 верно для ребер, отвечающих графу К2.
Предыдущая << 1 .. 153 154 155 156 157 158 < 159 > 160 161 162 163 164 165 .. 193 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed