Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Болсинов А.В. -> "Интегрируемые гамильтоновы системы " -> 151

Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.

Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы — И.: Удмуртский университет, 1999. — 444 c.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemi1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 145 146 147 148 149 150 < 151 > 152 153 154 155 156 157 .. 193 >> Следующая


Теперь, используя этот факт, мы можем двигаться по дереву-семье дальше, доказывая последовательно совпадение функций вращения на всех ребрах семьи.

Рассмотрим теперь случай, когда семья U не является деревом или содержит атомы типа А. Если семья содержит атомы типа А, то изготовим из нее новый геометрический объект U, склеив вместе все атомы А в одну точку (рис. 8.9).

Если этот новый граф не имеет циклов, то исходный кусок содержал не более одного атома типа А, все остальные атомы были седловые. В этом случае мы

Рис. 8.9
Траекторная классификация. Второй шаг

335

можем дословно повторить наше рассуждение, сделанное выше, перебирая последовательно все крайние вершины этого дерева, но не трогая атома А, оставляя его для последнего шага.

Пусть, наконец, U деревом не является. Рассмотрим произвольный цикл этого графа. Мы утверждаем, что можно таким образом изменить допустимые системы координат для второй системы, чтобы матрицы склейки не изменились, а на одном из ребер этого цикла функции р^ и р^ совпали. При этом изменения систем координат на торах будут происходить только на ребрах этого цикла, в частности, на всех остальных ребрах функции вращения меняться не будут.

Итак, возьмем произвольный цикл, т. е. замкнутую ломаную без самопересечений, образованную ребрами ei,... ,em. Без ограничения общности мы можем считать, что ориентация на ребрах соответствует некоторой ориентации на цикле (рис. 8.10).

Возьмем произвольное ребро ej0 из этого цикла, соединяющее некоторые атомы Vj1 и Vj2, т. е. две вершины рассматриваемой ломаной. Предположим, что функции вращения на ребре ej0 не совпали, другими словами,

p~[j0 = p2j0 — к. Здесь индексы 1 и 2 со- Рис> 8,10

ответствуют номеру оснащения, а не номеру ребра. Сделаем тогда следующую допустимую замену координат на всех ребрах ej, образующих данный цикл:

К=ч J v'(=V

W' = Pj - kxl ’ 1л' = h + kxi ¦

Легко видеть, что такая замена координат допустима. Действительно, если конец или начало ребра является атомом типа А, то такая замена допустима по определению. Если же конец ребра является седловым атомом, то из этого атома по нашему построению обязательно выходит некоторое ребро из рассматриваемого цикла (рис. 8.10). Поэтому замена затрагивает одновременно два ребра инцидентных данному атому, причем сумма коэффициентов «Ь> для этой замены равна нулю, что и означает допустимость замены. См. параграф 1 главы 4.

Далее, легко видеть, что замена не меняет матриц склеек. Единственные изменения в избыточном sf-оснащении STi относятся к функциям вращения на ребрах, образующих цикл. Ко всем этим функциям вращения добавляется целое число к. Поэтому, в частности, на выбранном нами бесконечном ребре eJO функции вращения p^j0 и р^о совпали.

Теперь мы это ребро больше не трогаем. Если в радикале после удаления ребра е\ остались некоторые циклы, мы повторяем описанную процедуру до тех пор, пока радикал не превратится в дерево или в несвязное объединение деревьев. Для деревьев, как мы уже видели, совпадение функций вращения будет иметь
336

Глава 8

место автоматически, если на всех остальных ребрах, окружающих это дерево, функции вращения уже уравнены.

Итак, мы уравняли функции вращения на всех ребрах молекулы, что и требовалось. Теперь избыточные оснащения совпали, и мы можем применить основную лемму, согласно которой системы будут гладко траекторно эквивалентны. Теорема доказана. ¦
Глава 9

Лиувиллева классификация интегрируемых систем с двумя степенями свободы в четырехмерных окрестностях особых точек

В настоящей главе излагаются результаты, полученные несколькими авторами, а именно, JI.М. Лерманом, Я. Л.Уманским, [105], [106], [327], А.В.Болси-новым [24], В. С. Матвеевым [110], [111], Т. 3. Нгуеном [341], [344]. При этом мы придерживаемся общей идеи настоящей книги и стараемся излагать все факты с единой точки зрения теории топологических инвариантов интегрируемых систем. Предыдущие главы были посвящены изучению интегрируемой гамильтоновой системы на трехмерной изоэнергетической поверхности. Здесь же мы хотим обсудить ее поведение на четырехмерном симплектическом многообразии. Главным образом нас будет интересовать топологическая структура особенностей слоения Лиувилля.

9.1. L-тип четырехмерной особенности

Пусть xq G М4 — невырожденная особая точка отображения момента Т = = (Н, /): М4 —> R2 интегрируемой гамильтоновой системы с гамильтонианом Н и первым интегралом / на симплектическом многообразии (М4, и>). Как мы уже видели в главе 1, особые точки могут быть лишь следующих четырех типов:

а) центр-центр,

б) седло-центр,

в) седло-седло,

г) фокус-фокус.

Нашей целью является описание структуры лиувиллева слоения в четырехмерной окрестности U4 особого слоя L, проходящего через точку ж0. Оказывается, точки первых трех типов име-
Предыдущая << 1 .. 145 146 147 148 149 150 < 151 > 152 153 154 155 156 157 .. 193 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed