Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Болсинов А.В. -> "Интегрируемые гамильтоновы системы " -> 155

Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.

Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы — И.: Удмуртский университет, 1999. — 444 c.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemi1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 149 150 151 152 153 154 < 155 > 156 157 158 159 160 161 .. 193 >> Следующая


Определение 9.3. Меченая молекула W*(t) называется круговой молекулой особой точки уо бифуркационной диаграммы Е.

Меченая молекула описывает структуру лиувиллева слоения границы 4-мер-ной окрестности U особого слоя L = Т~г(уо). Она показывает, что происходит, когда мы обходим вокруг особенности. Важно то, что происходящие при этом события мы можем описать в терминах уже известного нам инварианта — меченой молекулы. Как мы увидим ниже, круговая молекула позволяет описывать структуру не только границы 4-мерной окрестности особенности, но и самой этой окрестности. Другими словами, как оказывается, во многих случаях круговая молекула оказывается полным инвариантом 4-мерной особенности в смысле лиувиллевой эквивалентности.

Гипотеза (А. Т. Фоменко). Если все особые точки zi, ... , zs на особом слое L являются невырожденными, то круговая молекула является полным инвариантом 4-мерной особенности в смысле лиувиллевой эквивалентности. Другими словами, две гамильтоновы системы лиувиллево эквивалентны в некоторых окрестностях своих невырожденных особенностей тогда и только тогда, когда их круговые молекулы совпадают.

Эта гипотеза ниже будет доказана в некоторых важных случаях. Опыт исследования конкретных примеров интегрируемых систем показывает, что как правило, различные 4-мерные особенности действительно имеют различные круговые молекулы, даже если условие невырожденности нарушается. Таким образом, круговая молекула — хороший инвариант, позволяющий эффективно различать типы особенностей.

Как мы увидим ниже, круговые молекулы полезны при вычислении инвариантов интегрируемых систем на произвольных изоэнергетических поверхностях.
344

Глава 9

9.3. Случай центр-центр

Пусть х — особая точка типа центр-центр в 4-многообразии М, L — проходящий через нее особый слой, и U(L) — его 4-мерная окрестность в М. Теорема 9.1. Существует ровно одна, с точностью до лиувиллевой эквивалентности, особенность типа центр-центр. Ее структура такова.

а) Особый слой L совпадает с самой точкой х.

б) Окрестность U(L) является 4~мерным шаром.

в) 1-тип этой особенности имеет вид (А, А).

г) Круговая молекула особенности имеет вид А------А, причем метка г = 0.

См. рис. 9.6.

д) Канонический вид этой особенности задается парой коммутирующих функций Н = а(р2 + q\) + (3{р\ + ^2)? и f = Р2 + г&е постоянные а и (3 отличны от нуля.

Комментарий. Этот случай является самым простым, и здесь можно доказать более силь-А ————А ное утверждение. А именно, что все особенности типа центр-центр симплектоморфны. Причем, это верно для произвольной размерности. Этот факт можно найти, например, в работе Элиассона [281]. Более того, в данном случае в Рис. 9.6 окрестности точки центр-центр действие груп-

пы Ж2 «факторизуется» до гамильтонова действия тора Г2. Этот случай, — когда тор гамильтоново действует на симплектическом многообразии, — полностью исследован и изложен, например, в книге М. Audiii [236].

Доказательство.

Доказательство сразу следует из локальной теоремы классификации невырожденных особых точек. См. теорему 1.5 главы 1. Согласно этой теореме, существует симплектическая система координат pi,qi,p2,q2 такая, что Н = = Н(р1 + q2, pi + ql) и / = {р\ + q\, р\ + $). Причем замена

(Я, f)^(Hj) = (pl+qlpl + ql)

является гладкой и регулярной.

Отсюда следует, что особый слой L = {Н = 0, / = 0} совпадает с невырожденной особой точкой х = (0, 0, 0, 0), а его окрестность U(L) является четырехмерным шаром, причем мы можем без ограничения общности считать, что координаты pi, qi, Р2, q2 действуют на всей этой окрестности. Отсюда следует, что любые две особенности типа центр-центр лиувиллево эквивалентны. Поскольку любая особенность типа центр-центр изоморфна особенности, у которой слоение Лиувилля задается каноническими функциями (Н, /).
Лиувиллева классификация интегрируемых систем

345

=>

Рис. 9.7

Ограничивая функцию Н на поверхности Pi = {р2 = 0, q2 = 0}, Р2 = {pi = 0, qx = 0}, получаем очевидно функции, зависящие только от p2 + ql up2+q2 соответственно. Таким функциям отвечают особенности, описываемые атомом А. Поэтому /-тип особенности центр-центр имеет вид (А, А).

Поскольку замена (Н, /) —> (_p\+q\, p\+q\) регулярна, то вместо функций Н и / при изучении структуры особенности мы можем рассмотреть функции Н = р\ 4- qf и f = р2 + q2 - Напомним, что круговая молекула описывает структуру лиувиллева слоения на трехмерном многообразии ег), где — окружность радиуса ? с центром в точке Т(х). В данном

случае вместо окружности удобнее взять отрезок т?, задаваемый на плоскости уравнением Н 4- / = ? (рис. 9.7). Отметим, что дуга окружности у?, попавшая в образ отображения момента, может быть гладко продеформирована в отрезок т? в классе допустимых кривых. См. определение допустимости выше. Поэтому структура слоения Лиувилля на прообразе дуги окружности и на прообразе отрезка т? — одна и та же. Таким образом, нужно описать структуру слоения на
Предыдущая << 1 .. 149 150 151 152 153 154 < 155 > 156 157 158 159 160 161 .. 193 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed