Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Н = Н(а,0), f = 3),
где функции а и (3 в зависимости от типа особой точки имеют вид:
а) а = pi + г/2, f3 = р2 + q2, в случае центр-центр,
б) а = pi + q\, f3 = p2q2, в случае центр-седло,
в) а = piqi, 0 = p2q2, в случае седло-седло.
При этом гладкая замена (Н, /) —> (а, /3) является невырожденной, т. е. 'Q ф 0. Следовательно, множество критических точек и их свойства для
С/(СУ, р)
340
Глава 9
отображений Т = (Н, /): U —> Ж2 и Т = (a, fl): U —> Ж2 будут одни и те же. Остается заметить, что для функций а,{3 множество критических точек локально устроено очень просто: оно состоит из двух двумерных поверхностей, задаваемых уравнениями:
(Pi = 0, qi = 0) и (р2 = 0, q2 = 0).
Эти две поверхности пересекаются трансверсально в невырожденной особой точке Zi и кроме того обе, локально, являются симплектическими многообразиями. Невырожденность особых точек (в смысле отображения JF), из которых состоят эти две пересекающиеся поверхности, очевидна (см. определения 1.23, 1.25 из главы 1).
Таким образом, все одномерные орбиты действия группы R2, попавшие в окрестность особого слоя L, оказываются невырожденными. Как было показано в предложении 1.18 главы 1, множество критических точек отображения момента в окрестности невырожденной орбиты локально устроено как симплектическое двумерное многообразие. Тем самым мы доказали, что пересечение множества К критических точек отображения момента с окрестностью U(L) является двумерным симплектическим многообразием, самопересекающимся в особых точках zi, ... , z8. В то же время, ясно, что оно состоит в действительности из двух многообразий Pi и Р2, каждое из которых двумерно и симплектично. Они отвечают дугам 71 и 72 на бифуркационной диаграмме, и пересекают друг друга
в точках z 1, ... , zs. Отметим, что многообразия Р* не обязаны быть связными.
2) По существу это утверждение следует из условия 4, то есть из того, что линии Н = const пересекают обе дуги 71 и 72 бифуркационной диаграммы трансверсально. В силу следствия из предложения 1.18 главы 1, все точки, кроме точек zi, ... , zs являются регулярными для функции Н, ограниченной на 2-многообразия Р*. Сами точки zi, ... , zs хотя и являются особыми, но они — невырожденные (как критические точки функции Н, ограниченной на Рг). Это следует из локальной структуры особен-
дН
ности. Действительно, функция Н имеет здесь вид Н = Н(а,{3), причем ф 0 дН
и -щ ф 0 в силу условия 4. В окрестности точки Zj на многообразии Р* в качестве локальных координат можно взять pi, qi. Отсюда видно, что ограничение Н на Pi в локальных координатах запишется как Н(р? + </?), либо как H(piqi). Из этих условий сразу следует, что Н: Pi —у Ж — функция Морса, что и требовалось.
3) На рис. 9.4 представлена локальная картина строения малой окрестности невырожденной особой точки. В первых трех случаях эта малая окрестность имеет тип прямого произведения. Легко видеть, что в случае центр-центр осо-
а) Ъ) с) d)
Рис. 9.4
Лиувиллева классификация интегрируемых систем
341
бый слой L нульмерен, т. е. состоит из одной точки, в силу связности. Для случая центр-седло особый слой L одномерен. Случай седло-седло и случай фокус-фокус характеризуются тем, что здесь особый слой L — двумерен. Из невырожденности сразу следует, что особый слой во всех своих точках обязан иметь одну и ту же размерность. Отсюда ясно, что точки типа центр-центр и центр-седло не могут «перемешиваться» ни с какими другими точками.
Докажем, что особый слой не может одновременно содержать точки типа седло-седло и фокус-фокус. Допустим противное. Тогда обязательно найдется двумерная орбита, в замыкании которой содержатся точки разных типов: седло-седло и фокус-фокус. В случае фокус-фокус существует линейная комбинация ХН + /if функций Н и /, с постоянными коэффициентами, такая, что все траектории векторного поля sgrad(AН + /if) замкнуты на особом слое L вблизи особой точки типа фокус-фокус. Это следует из локального строения этой точки (см. также подробное описание точек типа фокус-фокус ниже). Все траектории указанного поля замкнуты на двумерной орбите и имеют один и тот же конечный период. С другой стороны, в окрестности точки седло-седло время прохождения по траектории вблизи особой точки стремится к бесконечности, когда траектория приближается к этой точке. Даже если бы траектория была замкнута, ее период при приближении к особой точке должен был бы стремиться к бесконечности. Получили противоречие. Предложение доказано. ¦
Из пункта 3 предложения 9.1 видно, что можно говорить о типе самого особого слоя L, а не только о типе особой точки. Поскольку на особом слое перемешивания точек разных типов не происходит, то весь слой естественно может быть отнесен к одному из следующих типов: центр-центр, центр-седло, седло-седло либо фокус-фокус.
