Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
1) Д-векторы, стоящие на каждом ребре молекулы;
2) Л-инварианты всех седловых атомов;
3) А^[0]-инварианты, стоящие на всех радикалах молекулы.
Проанализируем специфику этих инвариантов в случае простых систем. Первый инвариант — Д-вектор — имеет «реберную» природу, т. е. описывает поведение систем на ребре молекулы, поэтому «простота» атомов никак на него не влияет и он остается без изменения.
Траекторная классификация. Второй шаг
329
Л-инвариант становится тривиальным, поскольку атом имеет лишь одну вершину, и мы можем вообще исключить Л из числа траекторных инвариантов.
Из тройки (A, Z, [0]) только инвариант [в] содержит в себе нетривиальную информацию, два других инварианта А и Z равны нулю опять-таки в силу простоты атома. Проанализируем определение 8.8. В рассматриваемом случае оно сводится к следующему. Две 0-цепи на граф-радикале [в] и [в'] называются эквивалентными, если их разность является границей некоторой целочисленной
1-цепи q. Это в точности означает, что суммы коэффициентов этих 0-коцепей равны между собой. Но эта сумма коэффициентов по определению является &-инвариантом_системы на рассматриваемом радикале. Итак, в итоге довольно громоздкий AZf^j-инвариант превратился в &-инвариант, который представляет собой просто целое число.
В итоге мы получаем следующую траекторную молекулу W** в случае простых систем.
Определение 8.12. В случае простых систем траекторной молекулой, или короче t-молекулой, W*f = (W*, R, Ъ) мы назовем меченую молекулу W*, снабженную дополнительно Д-инвариантами всех ее ребер и &-инвариантами всех ее радикалов.
Учитывая общую теорему классификации и рассуждения, приведенные выше, мы приходим к следующему результату.
Теорема 8.3. Пусть v — простая интегрируемая гамильтонова система, т. е. ее молекула W на данном изоэнергетическом 3-многообразии состоит только из атомов А, А* и В. Тогда отвечающая этой системе t-молекула W*f = (W*, R, Ъ) корректно определена, т. е. не зависит от выбора допустимых координат, и является полным траекторным инвариантом интегрируемой системы. Это означает, что две интегрируемые системы рассматриваемого класса топологически траекторно эквивалентны тогда и только тогда, когда их (простые) t-молекулы совпадают.
Как мы видим, в этом важном частном случае траекторные инварианты сильно упростились. Отметим также, что для простых молекул вся дополнительная информация о траекториях системы содержится в функциях вращения.
8.9. Теория гладкой траекторной классификации
В настоящем параграфе мы изложим теорию гладкой траекторной классификации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, построенную в [24], [25], [26]. Здесь, как обычно, под гладкостью мы понимаем С^-гладкость.
Ниже, для простоты, мы будем предполагать, что все атомы являются плоскими и без звездочек. Это означает, в частности, что плоскими, т. е. допускающими вложение в плоскость, являются все трансверсальные сечения Рс. Отметим, что в реальных примерах интегрируемых гамильтоновых систем, известных нам, это условие всегда выполняется. На самом деле общий метод построения инвариантов, который был предложен выше, и который мы сейчас применим
330
Глава 8
в гладком случае, абсолютно пригоден в случае неплоских атомов и атомов со звездочками. Действительно, выше мы описали полностью атомные инварианты в общем случае. Однако мы уже видели, что при рассмотрении самого общего случая возникают чисто технические проблемы при описании инвариантов действия группы замен. Поэтому здесь мы решили ограничиться наиболее важным для приложений случаем, где, как мы вскоре увидим, теорема классификации приобретает очень естественную формулировку.
Итак, прежде всего мы построим так называемое избыточное si-оснащение для системы. При этом мы будем считать, что боттовский первый интеграл / гамильтоновой системы v фиксирован, поэтому, в частности, избыточное sf-осна-щение и si-молекула будут зависеть от выбора первого интеграла.
На граничных торах каждого 3-атома Qc мы вводим и фиксируем некоторые допустимые системы координат — пару ориентированных циклов. Один из циклов этой системы — слой расслоения Зейферта, другой — пересечение тора Лиувилля с трансверсальным сечением Рс с Qc. Напомним, что в случае плоских атомов задание сечения и задание допустимой системы координат, т. е. границы сечения, — это одно и то же.
Таким образом, как и выше, мы получаем на каждом ребре две системы координат (А“, ц~) и (А+, fij) и можем определить, следовательно, пару функций вращения р~ и pj. Кроме того, на каждом ребре имеется целочисленная матрица склейки Cj, которая по определению является матрицей перехода от базиса (А“, ц~) к базису (At, p,f).
Наконец, для каждой вершины каждого седлового атома Рс мы определим по указанному выше правилу А*-инвариант. При этом в качестве гамильтониана редуцированной системы мы будем рассматривать дополнительный интеграл /, а симплектическую структуру на сечении Рс подберем соответствующим образом под этот гамильтониан. Таким образом, фиксировав допустимые системы координат, или, что то же самое, набор трансверсальных сечений Р, мы можем определить следующий набор
