Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Наша основная цель — классифицировать динамические системы указанного типа с точностью до траекторной эквивалентности, топологической и гладкой.
Предположим, что система v удовлетворяет условиям 1-5, перечисленным выше. Каждой такой системе можно сопоставить ее i-молекулу, определенную в предыдущем параграфе.
Теорема 8.2.
а) t-молекула W** интегрируемой гамильтоновой системы указанного выше типа, с двумя степенями свободы, является ее корректно определенным траекторным топологическим инвариантом.
б) Две интегрируемые системы топологически траекторно эквивалентны, если и только если их t-молекулы совпадают.
Доказательство.
Пункт а) этой теоремы следует из первого принципа построения траектор-ных инвариантов и уже фактически доказан в предыдущем параграфе.
Действительно, выше мы определили избыточное f-оснащение молекулы W, которое фактически уже является траекторным инвариантом. Единственный недостаток — в неоднозначности его выбора, т. е. в его зависимости от выбора набора трансверсальных сечений. Эту неоднозначность мы ликвидировали в предыдущем параграфе, перейдя от избыточного i-оснащения к i-молекуле, которая инвариантна по отношению к заменам сечений и потому корректно определена.
Докажем пункт б) сформулированной теоремы, т. е. покажем, что i-молекула является полным траекторным инвариантом системы.
В силу второго принципа достаточно доказать, что предъявленные нами выше объекты W*4, рассматриваемые как функции на множестве всех допустимых избыточных i-оснащений, разделяют орбиты действия группы замен (ЗТР, т. е. для любых двух несовпадающих орбит этого действия обязательно найдется хотя бы один параметр, входящий в i-молекулу, который принимает на этих орбитах разные значения. Другими словами, две орбиты совпадают тогда и только тогда, когда совпадают значения, принимаемые на них i-молекулами.
Доказательство разобьем на несколько этапов.
Рассмотрим два элемента пространства {Т}, т. е. два избыточных i-оснаще-
ния:
Т = (С, R+, R~, Л, Д, Z) и Г = (С", R,+, R'~, Л', Д', Z').
Нам дано, что значения f-молекулы W'* как функции на пространстве {Т}, совпадают на этих двух i-оснащениях. Нужно вывести отсюда, что существует такая замена трансверсальных сечений внутри каждого атома, которая совмещает эти два i-оснащения.
Этап 1. Начнем с рассмотрения седловых атомов, организованных в радикалы. Разбиение молекулы W на радикалы однозначно определяется i-оснащением, а
324
Глава 8
также его можно восстановить, зная i-молекулу. В самом деле, r-метки и векторы вращения {R}, заключенные в i-молекулу, позволяют судить, какие ребра молекулы W являются конечными, какие бесконечными, и какие — супербесконечными. Поэтому, из совпадения i-молекул сравниваемых гамильтоновых систем г>1 и v2 следует, что обе сравниваемые молекулы W\ и W2 одинаковым образом разбиты на радикалы. Для упрощения рассуждений, мы можем отождествить обе молекулы W\ и W2, считая их одной и той же молекулой W, на которой заданы два, вообще говоря, различных i-оснащения Т и Т.
Этап 2. Возьмем произвольный радикал U в молекуле W и отвечающие ему две тройки: (A, Z, 9) и (A', Z\ 9'). Возникшие здесь наборы 9, как и 9', определяются в точности так же, как и введенный нами выше целочисленный набор [9]. Но только нужно вместо целых частей коэффициентов, участвующих в определении [9] (см. выше параграф 6), брать сами эти коэффициенты. Покажем, что используя r-метки на конечных ребрах, векторы вращения R mod 1 на бесконечных ребрах и целочисленные параметры [0], мы можем однозначно восстановить
вещественные значения 9. Пусть, например, 9 = Это число, очевидно, можно
Р
восстановить, зная
и метку г = ^ mod 1. Если же 9 = MR , то это число
а
А
можно восстановить, зная вектор R mod 1 и —[—MR ]. Аналогичные рассуждения повторяются для других типов значений 9. Нам дано, что тройки (A, Z, [0]) и (A', Z', [0]') эквивалентны, поскольку соответствующие значения A, Z, [^-инвариантов совпали. Их эквивалентность в точности означает, что существует замена трансверсальных сечений внутри радикала С/, которая переводит первую тройку во вторую. Выполнив эту замену сечений, мы добиваемся того, что теперь выполняется равенство:
(A, Z, [9]) = (A', Zr, [9]').
Отметим, что эту процедуру можно делать абсолютно независимо для всех радикалов внутри молекулы. Это является следствием предложения 8.2, согласно которому замена площадки в атоме влияет только на параметры (A, Z, [0]), отвечающие данному атому. Далее, выше было сказано, что по целочисленным значениям [9] можно однозначно восстановить сами вещественные значения всех компонент набора 9. Следовательно, выполнив указанную замену сечений, мы в действительности совмещаем не только целые части [9] и [9]', но и сами наборы 9 и 9'. Поэтому мы добились того, что
(A, Z, 9) = (A', Z', 9')
