Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Это обстоятельство имеет вполне содержательную интерпретацию: для подсчета инвариантов нам нужны не сами трансверсальные сечения, а лишь их границы, т. е. допустимые системы координат на граничных торах.
Итак, рассмотрим следующую конструкцию. Пусть Ptr — некоторое транс-версальное сечение в 3-атоме Qc. По этому сечению однозначно строится Z-ин-вариант рассматриваемой системы Zc 6 Н\{РС, М). Рассмотрим проекцию
t: Щ(Р„ К) -> Hi(Pc, S1) = Hi(Pc, М)/Я!(РС, Z),
и образ Z-инварианта ?(ZC) G Н\{РС, S1). Мы утверждаем, что при замене Zc на i{Zc) мы никакой информации о системе не теряем. Действительно, рассмотрим произвольные замены трансверсальной площадки Ptr, которые не меняют ее границы. Это в точности означает, что различающая 2-коцепь кс в этом случае равна нулю или, что то же самое, различающая 1-цепь тс является коциклом с точки зрения поверхности Рс. Что произойдет при такой замене с элемента-
Траекторная классификация. Второй шаг
317
ми избыточного f-оснащения? Согласно предложению 8.2 изменения коснутся лишь Z-инварианта:
Zc Zc + Ф2(тПс)•
Однако мы знаем, что для коциклов отображение ф2 является двойственностью Пуанкаре. Поэтому в результате Zc изменится на целочисленный цикл, а класс ?(ZC), следовательно, останется прежним. Отметим, что любой целочисленный цикл может быть реализован путем подбора соответствующего коцикла шс. Тем самым никакой информации мы не потеряли.
Отметим, наконец, что при произвольных заменах трансверсального сечения класс ?(ZC) меняется по следующему естественному закону, в котором участвует уже лишь кс, а не тс (сравните с предложением 8.2):
ttzcy =ttzc) + Mbc),
где ф2: В2(РС, Z) —> Ях(Рс, S'1) однозначно определяется из условия коммутативности следующей диаграммы
02
Сх{Рс, Z)
в2(Рс, Z)
Ях(Рс,
Ях(Рс, S'1)
Этот оператор определен корректно, поскольку, как мы только что показали ^ф2(кег(6)) =0.
Рассмотрим снова радикал U и произвольный набор различающих 2-коце-пей q = (кС1, • • • , кСр) для атомов, входящих в данный радикал.
Возьмем теперь какое-то избыточное f-оснащение молекулы W и извлечем из него для данного радикала U следующие два набора элементов. Если VCl, ... , VCp — атомы радикала U, то рассмотрим наборы
А — (Aci? • • • ? ^ср) и Z — (ZC1, ... , ZCp),
где ACf, ZCi — А- и Z-инварианты, отвечающие атому VCi, и кроме того рассмотрим набор целых чисел [0], стоящих на ребрах радикала, определенный выше.
Как мы уже договорились, Z-инварианты мы будем теперь рассматривать по модулю целочисленных коциклов. Условно мы запишем это как
т = (т,),
Для краткости мы условимся обозначать набор {ф[(кС1), ... , ф[(кСр)} через 0'х(</). Аналогично, ф2^) = {ф2(кС1), ... , ф2(кСр)} Операторы ф[, ф2 для каждого оператора были определены выше.
Рассмотрим множество всех троек вида (A, Z, [0]).
318
Глава 8
Определение 8.8. Два набора (A, Z, [9]) и (A', Z', [9]') назовем эквивалентными, если существует набор различающих 2-коцепей q такой, что
я = [о]’-т,
01(g) = А- А',
Mq) = m-azy.
Инвариантом AZ[9] интегрируемой системы на данном радикале U мы назовем класс эквивалентности тройки A, Z, [0], построенной по избыточному i-осна-щению молекулы W.
Докажем инвариантность, пользуясь первым принципом. Подействуем на тройку (A, Z, [0]) некоторым элементом группы замен GP. Получим некоторую новую тройку (A', Z’, [#]'). Нам достаточно показать, что они эквивалентны в смысле определения 8.8. Каждому элементу группы замен соответствует набор различающих 2-коцепей К = {кс}. Возьмем в качестве 1-цепи q на радикале U набор различающих 2-коцепей, отвечающих атомам радикала: q = {кС1, ... , кСр}. Тогда для этого набора все соотношения будут, очевидно, выполнены.
Итак, все необходимые траекторные инварианты интегрируемых систем построены.
Комментарий. Отметим некоторую тяжеловесность последнего инварианта. Возникает естественный вопрос: можно ли было определить эти инварианты с помощью «простых явных формул»? Оказывается, в самом общем случае таких «простых» формул нет. Дело в том, что пространство орбит действия группы замен GP может быть нехаусдорфовым для молекул определенных типов. Поэтому непрерывных функций, различающих орбиты, может не существовать.
То, что мы сделали в этом параграфе, можно назвать попыткой разделить действие очень большой группы на очень большом пространстве на несколько различных действий меньших групп на отдельных кусках молекулы. Этими кусками в данном случае оказались радикалы молекулы. Другими словами, мы попытались разложить действие на «неприводимые компоненты». Согласно третьему принципу построения инвариантов для систем разных типов мы можем действовать по-разному, выбирая полный набор инвариантов, и ниже мы покажем, как это можно делать в некоторых частных случаях, когда можно предъявить «явные формулы» для инвариантов.
