Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
8.6.5. Окончательное определение t-молекулы интегрируемой системы
Пусть задана интегрируемая гамильтонова система v на изоэнергетическом
3-многообразии Q.
1 Шаг. Рассмотрим отвечающую ей меченую молекулу W*. Она включает в себя г-метки, n-метки и е-метки.
2 Шаг. Строим на каждом ребре молекулы Д-инвариант Щ. Их совокупность обозначим через {R}.
Траекторная классификация. Второй шаг
319
3 Шаг. Выделяем в молекуле W* радикалы U.
4 Шаг. На каждом седловом атоме V молекулы W* строим Л-инвариант.
5 Шаг. На каждом радикале U молекулы W строим AZf^j-инвариант. Определение 8.9. Объект
W* = ((W, г, е), {Д}, {Л}, {АЩ})
называется топологической траекторной молекулой или, короче, f-молекулой данной интегрируемой системы v на данном изоэнергетическом 3-многообразии Q.
Комментарий. Как видно из определения 8.9, обычная меченая молекула W вошла в f-молекулу не полностью: из нее выпал важный параметр — п-метки. Это произошло потому, что n-инвариант в действительности распадается в «объединение» Ь-инвариантов. При этом, Ь-инварианты, в свою очередь, выражаются через Д^[^]-инвариант.
Нам следует обсудить здесь еще один вопрос: что означает выражение «две f-молекулы совпадают». Это требует некоторых разъяснений, поскольку этот объект довольно сложен. Итак, пусть Wf* и — две f-молекулы. Во-первых, они являются графами с ориентированными ребрами и с вершинами разных типов. Разумеется, при гомеоморфизме одной молекулы на другую ориентации ребер должны сохраняться и каждая вершина первой молекулы должна переходить в такую же вершину второй молекулы. Более того, задание молекулы предполагает, что для каждого атома молекулы установлено взаимно-однозначное соответствие между ребрами, входящими и выходящими в него и граничными окружностями соответствующего 2-атома из канонического списка. Поэтому гомеоморфизм между молекулами предполагает существование соответствующих гомеоморфизмов для всех его вершин как двумерных поверхностей. Причем на границе 2-атома этот гомеоморфизм уже фактически определен отображением между графами. Таким образом, для совпадения двух f-молекул должны быть определены гомеоморфизм графов и гомеоморфизмы между соответствующими друг другу 2-атомами, т. е. вершинами графов. И наконец, эти гомеоморфизмы должны сохранять все «числовые параметры f-молекулы».
Из этого комментария видно, что сравнение f-молекул в общем случае может оказаться трудной задачей (впрочем, как и сравнение двух произвольных графов). Разумеется, в реальных ситуациях, когда мы сравниваем конкретные примеры интегрируемых систем, проблем такого сорта как правило не возникает.
Следует обратить внимание еще на одно обстоятельство. Определение t-молекулы зависит от выбора двух ориентаций: ориентации трехмерного многообразия Q3 и ориентации ребер молекулы. Отметим, что мы постоянно пользовались терминами типа «начало» или «конец ребра» и, кроме того, мы использовали ориентацию Q3 для определения допустимых систем координат.
В принципе мы выше уже договорились, что при траекторной эквивалентности должна сохраняться ориентация изоэнергетического многообразия, но от
320
Глава 8
этого условия вполне можно отказаться, описав явно изменения параметров f-мо-лекулы при замене ориентации на Q.
Аналогичным образом дело обстоит с ориентацией на ребрах. Для каждой конкретной системы мы можем договориться ориентировать их по направлению возрастания дополнительного интеграла / и потом требовать «сохранения» этого направления при траекторных изоморфизмах. Тогда данное выше определение i-молекулы абсолютно корректно. Или же мы можем указать, что происходит с i-молекулой при изменении ориентации ребер, а затем считать f-молекулы, получающиеся друг из друга такими преобразованиями, по определению совпадающими. Это вполне разумно, поскольку с содержательной точки зрения изменение направления стрелки на ребре вообще ничего не меняет.
Итак, в заключение этого параграфа мы опишем формальные преобразования f-молекулы, связанные с изменением ориентаций.
8.6.6. Влияние ориентации на инварианты
Как уже сказано выше, мы можем менять ориентацию 3-многообразия Q, а также ориентацию ребра молекулы. Как реагируют на это введенные нами инварианты? В этом пункте мы ограничимся рассмотрением атомов без звездочек. Присутствие звездочек, конечно, несколько усложняет картину, но мы не будем на этом задерживаться. Следуя нашим общим принципам, нужно посмотреть, что происходит с избыточным i-оснащением:
При изменении ориентации изоэнергетической поверхности Q3 меняются допустимые системы координат. А именно, для седловых атомов — меняется знак второго базисного цикла ц, а для атомов типа А — меняется знак первого базисного цикла А. Кроме этого меняется ориентация на каждом трансверсальном сечении, что вызывает, в частности, замену знаков на кольцах атома: положительные кольца становятся отрицательными и наоборот. Отсюда легко следует, что избыточное i-оснащение изменится следующим образом.
