Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
4-а, мы можем восстановить векторы вращения R+ и R~, используя вектор R и матрицу склейки.
Пусть теперь ребро е бесконечно.
Пусть оно, для определенности, направлено от седлового атома к атому А. Опять мы можем сделать подходящую замену трансверсального сечения внутри атома А таким образом, чтобы матрица склейки приобрела вид Д). Поскольку параметры е совпадают, то и матрицы склейки теперь тоже совпадут. Далее,
Траекторная классификация. Второй шаг
327
как и в пункте 4-6, зная 9~ = MR~ и зная вектор R~ mod 1, мы можем восстановить сам вектор R~. При этом вектор R+ равен sR~, в данном случае.
Таким образом, если молекула W отлична от А---------А, то пункт (б) теоре-
мы 8.2 доказан.
Этап 6. Пусть теперь молекула W имеет вид А----------А. Тогда t-молекула имеет
вид W*г = ((W, г, e),R). Изменяя трансверсальные сечения, системы координат внутри атомов А, можно стандартным способом добиться совпадения матриц склейки С и С', так как нам дано, что меченые молекулы W* совпадают. Если ребро е конечно, то как и на этапе 4-а, векторы вращения R+ и R~ восстанавливаются по матрице склейки и вектору R. Отметим, что здесь такое ребро только одно. Если же ребро е бесконечно, то можно считать, что матрица склейки имеет вид ( q _°е). Сделаем следующие замены внутри обоих атомов А:
(Х+ = Х,+ (\-=Х'~
= ц,+ + kX,+, = ц'~ — кХ'~.
Легко проверяется, что при такой замене матрица склейки С не меняется (см. предложение 8.2). При этом векторы вращения изменяются по следующему правилу: R+ —> R+ + к и R~ —> R~ — к. Пользуясь такой заменой и вектором вращения R = R~ mod 1, можно добиться того, чтобы векторы R~ совпали. В нашем случае R+ = —R~, следовательно, автоматически совпадут и векторы R. Итак, с помощью подходящих замен внутри атомов А, мы добились совпадения двух избыточных f-оснащений. Итак, пункт (б) теоремы 8.2 полностью доказан.
Теорема 8.2 доказана. ¦
Сделаем еще несколько важных общих замечаний по поводу проблемы классификации. Мы сопоставили интегрируемой гамильтоновой системе некоторый объект, позволяющий тестировать системы на топологическую траекторную эквивалентность. Однако для того, чтобы считать проблему классификации решенной, мы должны ответить на вопрос о том, какие именно абстрактные f-моле-кулы могут быть реализованы как f-молекулы интегрируемых систем. Другими словами, мы должны описать класс допустимых f-молекул. Фактически, ответом на этот вопрос является теорема реализации 8.1. Прокомментируем это несколько подробнее.
Рассмотрим пространство {Т} всех допустимых избыточных f-оснащений какой-то одной фиксированной молекулы W, см. параграф 5.
Определение 8.10. Назовем f-молекулы, отвечающие допустимым избыточным f-оснащениям, допустимыми t-молекулами W>г.
Ясно, что эти и только эти молекулы могут быть реализованы как молекулы интегрируемых гамильтоновых систем.
Это определение, действительно, имеет разумный смысл, поскольку, во-первых, множество допустимых f-оснащений инвариантно по отношению к действию группы GHP (т. е. при переходе к f-молекуле не происходит перемешивания допустимых и недопустимых объектов). Во-вторых, если нам дана f-молекула,
328
Глава 8
то по ней несложно явно восстановить какое-либо из соответствующих ей избыточных f-оснащений и провести тем самым явную проверку допустимости.
Более того, можно явно выписать формальные условия, которым должны удовлетворять параметры f-молекулы. Полный их список содержится в нашей работе [33].
8.8. Частный случай: простые интегрируемые системы и их топологическая траекторная классификация
Определение 8.11. Интегрируемая гамильтонова система называется простой на данном изоэнергетическом 3-многообразии Q, если на каждом критическом уровне ее дополнительного интеграла /, внутри Q, лежит ровно одна критическая окружность функции /. В терминах молекулы W это означает, что допустимы только три простейших типа атомов: А, В и А*. См. рис. 8.8.
Известно (см. работу Т. 3. Нгуена [138]), что произвольная гладкая невырожденная интегрируемая система может быть сделана простой путем малого гладкого возмущения в классе интегрируемых систем. Однако в реальных задачах часто присутствует некоторая симметрия, которая является причиной возникновения сложных атомов. См. [139], [154], [219].
Описанные выше возмущения, вообще говоря, меняют тип гамильтониана, что выводит нас за рамки конкретной изучаемой Рис. 8.8 системы. Поэтому выше мы рассматривали
общий случай, включающий в себя теорию сложных атомов и молекул. Тем не менее случаи простых систем встречаются довольно часто, многие описанные инварианты при этом упрощаются, и ниже мы дадим переформулировку общей теоремы классификации для этого специального случая.
Напомним, что f-молекула W** включает в себя следующие траекторные инварианты:
