Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
1) На ребрах между двумя седловыми атомами и на ребрах между двумя атомами типа А матрица перехода С = ^ ^ j приобретет вид С' = ^ ^.
На ребрах между седловым атомом и атомом А матрица С перейдет в
2) Векторы вращения R~ и R+ на каждом ребре поменяют знаки.
3) A-инварианты не изменятся.
4) А- и Z-инварианты домножатся на —1.
Посмотрим теперь, что происходит при изменении ориентации на каком-либо ребре молекулы W.
Т(«) = (СДР), Д7(Р), Я+(Р), ЛС(Р), ДС(Р), ZC(P)).
Траекторная классификация. Второй шаг
321
1) Матрица перехода С заменяется на обратную С' = С 1.
2) Новый вектор R~ получается из старого вектора R+ переписыванием его компонент в обратном порядке. Аналогичным образом новый R+ получается из старого R~.
3) Л-инвариант не изменится.
4) А- и Z-инварианты не изменятся.
Поскольку окончательные траекторные инварианты R, Л, AZ[9\ являются функциями от избыточных оснащений, мы можем явно указать закон их преобразования.
Предложение 8.6.
а) Изменение ориентации Q следующим образом преобразует траектор-ный R-инвариант:
а-1. Если конечное ребро соединяет два седловых атома или два атома типа А, то R-вектор на этом ребре не меняется.
а-2. Если конечное ребро соединяет седловой атом с атомом А, то R-век-тор на этом ребре меняет знак.
а-3. Если ребро бесконечное, то R-вектор меняет знак во всех случаях.
б) Изменение ориентации ребра молекулы следующим образом преобразует траекторный R-инвариант:
6-1. На конечном ребре молекулы новый R-вектор получается из исходного следующей процедурой. Нужно восстановить по исходному R-вектору соответствующую функцию вращения p(t), t 6 (0, 1). Она восстанавливается с точностью до сопряженности, что не влияет на закон преобразования R-вектора. Затем следует рассмотреть новую функцию p(t) = = р-1( 1 — t) и взять для нее соответствующий R-вектор.
6-2. На бесконечном ребре новый R-вектор получается из исходного путем переписывания его компонент в обратном порядке и домножением их на —1.
Предложение 8.7. При изменении ориентаций Q и ребер молекулы инвариант Л не меняется.
Предложение 8.8.
а) При изменении ориентации Q траекторный AZ[9]-инвариант заменяется на (—А)(—Z)[—9\, что означает следующее: класс эквивалентности тройки (A,Z,[9]) переходит в класс эквивалентности следующей тройки: (-А, -Z, [-0]).
б) При изменении ориентации ребра ej молекулы траекторный AZ[9]-UHeapu-ант, отвечающий радикалу U, изменяется только в следующих двух случаях:
322
Глава 8
6-1. Ребро ej является внешним бесконечным ребром, входящим в радикал U, и число MKj~ не целое. Тогда в тройке (A, Z, [в]) компоненты А и Z не меняются, а число [0]j увеличивается на единицу. Здесь [0]j — компонента 0-цепи [в], отвечающая ребру ej. См. определение [в] выше.
6-2. Ребро ej является внешним бесконечным ребром, выходящим из радикала U, и число MR~ не целое. Тогда в тройке (A, Z, [в]) компоненты А и Z не меняются, а число [0]j уменьшается на единицу. Здесь [0]j — компонента 0-цепи [в], отвечающая ребру ej.
8.7. Теорема топологической траекторной классификации интегрируемых систем с двумя степенями свободы
Теперь мы, наконец, можем сформулировать и доказать одну из основных теорем настоящей книги. Рассмотрим интегрируемую гамильтонову систему v = sgradН на симплектическом многообразии М4 и ограничим ее на компактную связную регулярную изоэнергетическую поверхность Q3 = {Н = = h = const}.
Рассмотрим следующий естественный класс (v, Q3) невырожденных интегрируемых систем v = sgradН на изоэнергетических 3-многообразиях Q3. Мы будем предполагать выполненными следующие условия.
1) Топологическая устойчивость. Q3 является компактным гладким замкнутым 3-многообразием, топологически устойчивым для данной системы, т. е. при малом изменении значения h энергии Н тип лиувиллева слоения системы v не меняется, т. е. система остается лиувиллево эквивалентной исходной.
2) Боттовость. Дополнительный гладкий интеграл /, ограниченный на изоэнергетическую поверхность Q3, является функцией Ботта, т. е. все его критические многообразия в Q являются невырожденными. Кроме того, мы будем предполагать, что все эти критические подмногообразия одномерны, т. е. являются окружностями. Другими словами, нет критических торов и бутылок Клейна.
3) Гиперболичность особых траекторий. Все седловые критические окружности интеграла / являются гиперболическими траекториями гамильтонова потока v. Это означает, что дифференциал отображения Пуанкаре для каждой периодической траектории поля v, являющейся в то же время критической седловой окружностью интеграла /, отличен от тождественного отображения и от «минус тождественного»: da ф ± id.
4) Нерезонансность. Система v является нерезонансной, т. е. иррациональные торы Лиувилля всюду плотны в Q.
Траекторная классификация. Второй шаг
323
5) Условие конечности. Функции вращения системы v должны иметь лишь конечное число локальных минимумов, максимумов и полюсов.
