Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Эту обратную операцию Ф-1 мы назовем вырезанием куска исходного потока на ребре Ki графа К.
Рассмотрим теперь общую операцию, являющуюся композицией операций вклейки и вырезания. Рассмотрим на каждом ребре К{ графа К произвольное вещественное число га*. Мы можем трактовать эту совокупность чисел как некоторую вещественную одномерную коцепь га* на графе К. Если га* положительно, то мы применим операцию вклейки на соответствующем ребре, если же га* — отрицательно, то к потоку мы применим операцию Ф-1 вырезания куска из потока на данном ребре Ki. Обозначим через Фт результирующую операцию (являющуюся композицией указанных выше элементарных операций). Ясно, что результат не зависит от порядка применения элементарных операций.
Определение 6.5. Операцию Фт мы назовем вклейкой-вырезанием куска потока, отвечающей данной 1-коцепи га (на графе К).
Операция Фт обладает следующими двумя очевидными свойствами:
1) ^mi ° Фт.2 — Фгп.2 ° ^mi — ^ 7711+7712 ?
2) Ф_т = Ф-1.
Отсюда сразу следует, что мы получаем действие группы одномерных коцепей графа К на пространстве гамильтоновых систем на данном атоме с морсов-скими гамильтонианами.
Наша цель — понять, что происходит с системой в результате применения операции Фт. Для этого нам нужно на самом деле выяснить действие этой операции на инварианты Л, А и Z этой системы. Обозначим это индуцированное
252
Глава 6
действие через Ф^. Легко видеть, что оно действительно корректно определено, поскольку под действием операции Фш сопряженные системы переходят в сопряженные.
Прежде всего заметим, что при действии операции Ф^ A-инвариант не меняется. Действительно, все изменения происходят «вдалеке» от особых точек гамильтониана.
Изменения А- и Z-инвариантов под действием операции Ф^ нетривиальны. Несложно показать (см. [33]), что это действие допускает следующее представление
ры (зависящие, вообще говоря, от значения A-инварианта системы, к которой применяется операция вклейки-вырезания).
Отметим, что мы не знаем пока какие значения могут принимать инварианты А и Z на фиксированном атоме V = (Р, К). Рассмотрим всевозможные гамильтоновы системы на этом атоме с одним и тем же значением А-инварианта.
Обозначим через A(V) и Z(V) подмножества в Во(Р) и i?i(P) соответственно, состоящие из всевозможных значений А- и Z-инвариантов для таких систем.
Определение 6.6. A(V) и Z(V) мы будем соответственно называть множествами допустимых значений А- и Z-инвариантов.
Подчеркнем, что эти множества зависят от значения заранее фиксированного А-инварианта.
Доказательство.
Для доказательства этого утверждения нам достаточно проверить, что с помощью подходящей операции Фш мы можем из любой системы получить новую систему с нулевыми инвариантами А и Z. Проделаем это.
Итак, пусть нам дана некоторая гамильтонова система w на атоме V = (Р, К). Рассмотрим одну из вершин Sj графа К. На каждом из четырех ребер выберем по точке и, проведя через них трансверсальные отрезки iVi, N2, N3, N4, окружим
Изначально, вообще говоря, действие Ф^ определено только на множествах допустимых инвариантов A(V) и Z(V), но используя явные формулы для этого действия, его можно распространить на пространства Во(Р) и i?i(P) целиком. Подмножества A(V) и Z(V) при этом останутся, разумеется, инвариантными. Проанализируем структуру этих множеств.
Рис. 6.8
Предложение 6.4. Действие Ф* на множествах допустимых значений инвариантов A(V) и Z(V) является транзитивным. Эти множества совпадают соответственно с образами операторов ф\ и ф2 и, в частности, являются линейными подпространствами.
Классификация гамильтоновых потоков
253
вершину Sj «крестом». Напомним, что на каждом из четырех «прямоугольников» Zi, на которые крест делится графом К (см. рис. 6.8) возникает функция (см. выше)
Ui(F) = -Ajln\F\ + ci(F),
где C{(F) — непрерывная функция, имеющая в нуле некоторый конечный предел Ci = Cj(0). Легко видеть, что смещая отрезки Ni, можно добиться того, чтобы все Ci (г = 1,2,3,4) были одновременно равны нулю (см. лемму 6.3). При этом ясно, что величины с* зависят только от точек пересечения отрезков 7V* с ребрами Ki.
Проделаем теперь эту процедуру со всеми вершинами графа К и окружим каждую вершину таким крестом. В результате мы получим картину, изображенную на рис. 6.9. Отметим, что некоторые из этих крестов могут пересекаться, накладываясь друг на друга.
Для каждого ребра графа рассмотрим теперь область, ограниченную парой граничных отрезков соседних крестов. Изменим граничные отрезки (не меняя их точек пересечения с графом К) таким образом, чтобы эта область стала прямоугольником (т. е. время прохождения потока от одного граничного отрезка до другого постоянно). В силу сделанного выше замечания это не изменит основного свойства крестов, которое нам понадобится: все ci равны нулю.
Вклеить
Рис. 6.10
Теперь осталось заметить, что эти области для каждого из ребер графа — в точности те прямоугольники, которые фигурируют в определении операции Фш. Проделаем эту операцию: вырежем те области, которые не покрываются крестами, и вклеим их дубликаты там, где эти области являются пересечением пары соседних крестов (рис. 6.10). Легко видеть, что в результате мы получили систему, склеенную непосредственно из выделенных крестов (без наложений и пропусков).
