Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Построим из цепи I два новых объекта. Спроектируем I ортогонально на пространство циклов Z\{P) и рассмотрим класс гомологий получившегося цикла z = 7г(/), где 7г: С\{Р) —У Z\(P) — ортогональное проектирование.
Определение 6.3. Класс гомологий [z] G -Hi(P) = Zi(P)/Bi(P) мы будем обозначать через Z и называть его Z-инвариантом гамильтоновой системы w (на атоме (Р, К)).
Далее, рассмотрим границу д(1) ? Bq(P) цепи I. Здесь д: С\(Р) —»• Bq(P) — стандартный граничный оператор.
Определение 6.4. Границу д(1) Е Bq(P) цепи I мы будем обозначать через А и называть ее А-инвариантом гамильтоновой системы w (на атоме (Р, К)).
Легко видеть, что Z и А не меняются при изменении цепи I на 1-границу. Таким образом, каждому классу [/] ? С\{Р)/В\{Р) мы сопоставили пару А и Z. Это сопоставление задает указанный выше изоморфизм С\{Р)/В\{Р) = = Bq(P) + Hi(P), поэтому пара (A, Z) содержит ровно столько же информации
242
Глава 6
о гамильтоновой системе, что и исходный класс [/] ? С\(Р)/В\(Р). Кроме того, поскольку [/], как мы уже показали, является инвариантом гамильтоновой системы, то таковыми являются А и Z. Другими словами, имеет место следующее утверждение.
Предложение 6.2. А-инварианты и Z-инварианты топологически сопряженных гамильтоновых систем (заданных на двух экземплярах одного и того же атома) совпадают.
Сейчас мы дадим иную интерпретацию коэффициентов нульмерной цепи А = чрезвычайно полезную для дальнейшего (здесь Si — вершины
графа К, т.е. нульмерные клетки). Отметим, что нульмерную границу А можно понимать как набор вещественных чисел, стоящих на вершинах графа К, сумма которых равна нулю. Оказывается, числа Ai можно задать явными формулами, как функции от Л-инварианта и полных периодов потока аь на кольцах атома.
Рассмотрим любую вершину S = Sj графа К и инцидентные с ней четыре ребра графа: К2, К3, К4. На каждом из ребер отмечены две точки раздела: и В них втыкаются соответствующие трансверсальные отрезки раз-
дела (рис. 6.5-Ь) N.^ и N~. Рассмотрим ограниченную ими область U = U(Sj), показанную штриховкой на рис. 6.5-Ь. Она состоит из четырех секторов, ограниченных ребрами графа К, отрезками раздела и линиями уровня F = ±?о функции F. К каждому из этих секторов мы можем применить утверждение леммы 6.2 при п = 0. В результате в каждом из них возникает непрерывная функция Ci(F), входящая в формулу для функции П*(F), которая задает время движения точки в секторе от одного отрезка раздела до другого. Рассмотрим значения этих четырех функций в нуле, т.е. четыре числа с*(0) = с*.
К выбранной нами вершине S примыкают четыре кольца (некоторые из которых могут, вообще говоря, совпадать). Обозначим эти кольца через Ci, Си, Сш, Civ• Пусть П/(F), Пii{F), UHi{F), ПIV{F) — соответствующие функции периода. Для каждой из них, как мы видели выше, имеет место асимптотика вида
n/(F) = -A/ln|F| + c/(F),
где c/(F) — функция, непрерывная в нуле, а А/ — сумма величин А* по всем вершинам графа К, принадлежащим границе кольца (7/ с учетом кратности (аналогично для остальных трех колец). Функции c/(F) мы будем иногда называть конечными частями функций периодов. Положим с/ = с/(0). Аналогичным образом определяются числа сц, сщ, civ как значения конечных частей функций периодов Пи(F), Пin(F), Пiv(F) при F = 0.
Предложение 6.3. В каждой вершине S = Sj графа К имеют место следующие равенства
a) A j = ci + с2 — с3 — с4.
Классификация гамильтоновых потоков
243
Доказательство.
Начнем с пункта а). Рассмотрим область U на рис. 6.5-Ь. Изготовим из нее обычный крест U, как показано на рис. 6.5-Ь, т.е. продолжив отрезки раздела N[~ внутрь положительных колец (эти продолжения нарисованы пунктиром на рис. 6.5-Ь). Рассмотрим для креста U соответствующие новые величины ci, ... , С4, определяемые тем же способом, что и ci, ... , С4 в случае области U. Обозначим через ?1, ... , ?4 коэффициенты коцепи /, отвечающие ребрам Ki, ... , К4. Напомним, что они определяются из соотношений ali{x^) = xf (для г = 1, 2, 3, 4). Из определения областей U и U легко следует, что:
Сложим эти четыре равенства с учетом знаков таким образом, чтобы получить следующее выражение:
Лемма 6.3. В сделанных выше предположениях ci + С3 — с2 — С4 = 0. Доказательство. _
По построению крест U ограничивается линиями уровня гамильтониана F = ±?о и четырьмя гладкими кривыми, являющимися продолжениями отрезков раздела Nf на положительные кольца. Легко видеть, что рассматриваемая нами величина ci + С3 — с2 — С4 остается постоянной при изменении этих кривых (требуется лишь, чтобы они оставались гладкими и трансверсальными траекториям потока). Кроме того, мы можем при вычислениях воспользоваться леммой Морса-Дарбу (см. ниже главу 8 тома 1), которая утверждает, что в окрестности седловой особой точки S = Sj существуют локальные координаты (и, v), в которых F = uv, ш = w(uv) du A dv.
Таким образом, без ограничения общности мы можем считать, что крест U задается в координатах (и, v) следующими соотношениями: \uv\ < ?о, |м| < 1, |v| < 1, т.е. является стандартным. Для такого креста все вычисления легко проводятся явно (см. выше доказательство леммы 6.2). Сделав это, мы увидим, что для стандартного креста все С{ просто равны нулю. Лемма доказана. ¦
