Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
n(F) =-Am,lnF + Cj(F),
где Ci(F) — функция непрерывная на всем отрезке [0, -F0] (включая нуль).
Обозначим через 11(F) полный период траектории ур- Функция 11(F) будет неоднократно встречаться нам и в дальнейшем, и мы будем называть ее функцией периода (отвечающей данному кольцу С). Для каждого г рассмотрим далее функцию
e((F) = d,n(F) - ?п3-(п где di = (Sj-i Amy).
Рис. 6.4
238
Глава 6
Утверждается, что эта функция непрерывна на всем отрезке [О, F0] и гладкая всюду, кроме, быть может, нуля. В самом деле, все «чистые логарифмы», входящие в выражения для периодов, сокращаются и в результате остается выражение:
(га \ г
.7 = 1 ' .7=1
\? = 1 з-
которое, очевидно, является непрерывной функцией от F на всем отрезке [О, F0], включая нуль.
Отметим, что если бы функции 9i оказались тождественно равными нулю, мы получили бы, что Y^j=1 Щ-F) = dill(F). Это означало бы, что приращение пе-
~ 27гЛт.
ременной «угол» <р в каждом прямоугольнике Zi равняется в точности —-------—.
z2j=1 A-nij
Другими словами, отрезки JV* оказались бы линиями уровня переменной (р и совпали бы с искомыми отрезками JV*. Мы используем здесь тот факт, что для каждой траектории jp ее естественный параметр t и переменная «угол» <р связаны простым соотношением dip = ^ т-е- П0ПР0СТУ пропорциональны
с постоянным на траектории коэффициентом.
Однако, вообще говоря, 9i отличны от нуля. Но они оказались непрерывными функциями от F, поэтому нам достаточно рассмотреть новые отрезки JV*, получающиеся из исходных отрезков JV* некоторыми сдвигами. А именно, нужно сдвинуть каждую точку отрезка JV* на величину 6i(F). Более точно, каждая точка на Ni задается некоторым значением F, и сдвигать ее нужно вдоль траектории потока а* на величину Oi{F). Ясно, что для построенных таким путем новых отрезков Ni новые функции 9i уже будут тождественно равны нулю, и тогда вступает в силу сделанное выше замечание. Новые отрезки Ni являются гладкими на открытом кольце и каждый из них имеет предельную точку на внутренней границе кольца, которую мы и обозначим через ж*.
Итак, мы построили отрезки Ni таким образом, что выполнена формула пункта «в» леммы 6.1. Осталось доказать единственность точки Xi (см. пункт «а» леммы) и то, что все остальные траектории ведут себя так, как указано в пункте «б». Другими словами, достаточно доказать, что в «прямоугольнике» Zi все остальные линии уровня функции ip втыкаются в особую точку Smi. Но этот
факт легко следует из уже использованного нами соотношения dip = ^ II(F))
Действительно, если мы сместимся с построенного нами отрезка Ni = {(р = = внутрь прямоугольника Zi на произвольную положительную величину А<р, то вблизи графа К мы удалимся от отрезка Ni на сколь угодно большое время в смысле потока а*, поскольку 11(F) —> ос при F —> 0. Поэтому предельной точкой сдвинутого отрезка {ip = а* + А^р} (т. е. линии уровня функции ф) может быть только особая точка Sm.. Лемма 6.1 полностью доказана. ¦
Комментарий. Начальный отрезок N = N^ предполагался гладким, однако ясно, что можно было бы взять любой непрерывный отрезок на кольце С, соединяющий
Классификация гамильтоновых потоков
239
пару точек на противоположных границах кольца и по одному разу пересекающий каждую интегральную траекторию потока а*. Все отличие от доказанной выше леммы 6.1 будет тогда состоять в том, что и все остальные отрезки TVj (строящиеся при помощи Ni) также будут непрерывными дугами, соединяющими пары точек на противоположных границах кольца и пересекающими по одному разу каждую интегральную траекторию потока.
Возвращаемся к доказательству предложения 6.1. Пусть (Р, К) и (Р', К') — два экземпляра одного и того же атома V, на которых заданы топологически сопряженные между собой гамильтоновы системы w и w'. Пусть Р —> Р' — сопрягающий гомеоморфизм. Обозначим через Aj и значения Л-инварианта первой и второй системы соответственно. Здесь одинаковыми индексами мы нумеруем особые точки первой системы Si и их образы S\ = ?(?*).
Граф К разбивает Р в объединение колец. Пусть С — любое из них и С' — кольцо, отвечающее ему при гомеоморфизме ?. Рассмотрим на кольце С систему отрезков раздела TV*, построенных при помощи леммы 6.1, и отвечающих некоторой переменной «угол» <р.
Рассмотрим образы TV/ = ?(iVj) отрезков TVj при гомеоморфизме ?. Они разбивают кольцо С" в объединение прямоугольников Zi. Эти отрезки будут линиями уровня переменной «угол» <р' при условии, что за начальный отрезок (отвечающий <pf = 0) взят отрезок ?(Ni). Это сразу следует из топологической сопряженности систем w и к/. Более того, функция <pf принимает на отрезках 7V/ те же значения, что и функция <р на отрезках TV*. Таким образом, N- являются отрезками раздела для кольца С' и обладают всеми свойствами, перечисленными в лемме 6.1, в частности, для них верна формула пункта «в».
