Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Шаг 3. Из леммы 6.2 следует, что обе функции периодов П(F) и П^Р') монотонно стремятся к бесконечности при F —> 0 и F' —> 0. Отсюда легко следует, что функции периодов П(F) и П^Р') сопряжены в окрестности нуля, т. е. существует непрерывная монотонная замена F' = t(F) такая, что П(F) = П'(г(Р)). Без ограничения общности мы будем считать, что эта замена переводит отрезок [—г, 0] в точности в отрезок [—г', 0].
Рассмотрим теперь гомеоморфизм кольца С на кольцо С', задаваемый явной формулой:
iciF, t) = (t(F), t)
246
Глава 6
или, что то же самое,
F’ = t(F) и t* = t.
Этот гомеоморфизм корректно определен, поскольку предварительно мы уравняли периоды потоков на соответствующих интегральных траекториях. Далее, гомеоморфизм ?с' С —> С' является сопряжением потоков сг* и сг'*, поскольку мы положили t' = t.
Шаг 4. Лемма 6.4.
а) Построенный выше гомеоморфизм непрерывно продолжается на границу кольца С.
б) Гомеоморфизмы типа построенные описанным способом для различных колец, непрерывно сшиваются в единый гомеоморфизм атома (Р, К) на атом (Р', К').
Доказательство.
Рассмотрим на кольцах С и С' стандартные переменные действие-угол, причем будем считать, что угол отсчитывается от начальных отрезков Nc и Nc-Тогда при отображении ?<? линии уровня переменной угол для системы w переходят в линии уровня переменной угол для системы w' с теми же самыми значениями угла.
Воспользуемся теперь леммой 6.1 и совпадением Л-инвариантов. По определению отрезки раздела на кольцах С и С' являются линиями уровня переменных «угол» у? и у?'. В силу леммы 6.1 значение «угла» на отрезках раздела вычисляется однозначно по Л-инварианту. Поэтому (т. к. Л-инварианты совпадают) при отображении ?<? отрезки раздела переходят в отрезки раздела.
Таким образом, отображение ?<? может быть корректно определено в тех точках графа К, которые являются концами отрезков раздела на кольцах С и С' (т.е. в точках раздела). Возьмем произвольное ребро графа К, к которому примыкает кольцо С. Это ребро является интегральной траекторией поля w (сепаратрисой). Поскольку отображение ?<? уже задано нами в одной из точек этой интегральной траектории, то его можно продолжить до гомеоморфизма из Ki на К-, требуя сохранения естественной параметризации на этих ребрах, рассматриваемых как траектории гамильтоновых потоков.
Делая то же самое для всех ребер, лежащих на границе кольца С, мы однозначно продолжаем отображение ?<? на внутреннюю границу кольца С. Непрерывность полученного отображения очевидна. Именно здесь мы используем известную нам информацию о совпадении Л-инвариантов сравниваемых потоков. Пункт (а) леммы доказан.
Классификация гамильтоновых потоков
247
Докажем пункт (б). Берем два соседних кольца С и D (рис. 6.6) — отрицательное и положительное, — примыкающие к критическому уровню функции F. На них (включая примыкающие к ним ребра графа К) сопрягающие гомеоморфизмы ?<7 и ?d Уже построены. Пусть ребро Ki примыкает одновременно к кольцам С и D. Нам нужно доказать, что гомеоморфизмы и ?d на этом ребре совпадают. На ребре Ki имеется пара точек раздела х\ и х~[, аналогичная пара x'f и x'J имеется на его образе К'. По построению = х'Т и = x'f.
Теперь легко видеть, что доказываемое утверждение легко следует из совпадения цепей I и V. Действительно, xf = сги{х^) и x'f = cr'tl{x'^), где ti коэффициент цепей I и V, отвечающий ребрам Ki и К[. Но тогда, поскольку является сопряжением, мы получаем
&{xf) = &((ги(х7)) = (Т,и(?с(хг)) = (Т,и{х 7) = x't =
Аналогично ?c(xi) — = x'J. Ясно, что совпадая хотя бы в одной
точке ребра Ki, гомеоморфизмы и будут совпадать на всем ребре Ki. Лемма 6.4 доказана. ¦
Доказательство этой леммы фактически завершает доказательство теоремы 6.1. Действительно, построенные нами сопрягающие гомеоморфизмы ?<7: С —Y С' в силу леммы 6.4 сшиваются в единый сопрягающий гомеоморфизм Р —У Р'. Теорема 6.1. доказана. ¦
Комментарий. Из доказательства легко увидеть, что на самом деле построенный гомеоморфизм, сопрягающий потоки, является гладким всюду за исключением точек графа К.
Комментарий. В случае простейшего особого слоя типа восьмерки, содержащего ровно одну особую точку гамильтониана (т.е. в случае атома В), все построенные нами инварианты тривиальны. Таким образом, в этом случае любые две гамильтоновы системы являются топологически сопряженными в некоторых окрестностях особых слоев.
Итак, мы описали полный набор атомных инвариантов гамильтоновых систем с одной степенью свободы. В силу теоремы редукции (теорема 5.1) теперь мы можем траекторно (непрерывно) классифицировать интегрируемые системы на трехмерных атомах. Напомним, что для этого мы должны вместо исходного гамильтонова потока v на 3-атоме рассмотреть соответствующий ему поток Пуанкаре на трансверсальной площадке. Отметим, однако, что трансверсальная площадка выбирается неоднозначно (даже с точностью до изотопии). Поэтому А-, Д- и Z-инварианты потока Пуанкаре будут, вообще говоря, зависеть от выбора трансверсальной площадки. Можно ли описать эту зависимость явно? Положительный ответ будет получен ниже. Оказывается, он формулируется в терминах некоторой довольно естественной операции на множестве гамильтоновых систем, заданных на фиксированном 2-атоме. Описанию этой операции посвящен параграф 6.4.
