Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку <pi|дг; = <Pi\N>., то отсюда мы сразу получаем, что
V* Л V* Л'
Л _ Л' ’
Zsj=l lvmj 2s j=1 1Ymj
Из этого соотношения сразу следует, что наборы чисел Ami и Л^. для каждого кольца С и его образа С" совпадают с точностью до пропорциональности. Проводя это рассуждение для всех остальных колец, мы получаем утверждение предложения 6.1.
6.1.2. A-инвариант и Z-инвариант
Мы снова воспользуемся леммой 6.1 для построения двух новых инвариантов гамильтоновой системы в окрестности особого слоя. Будем считать, что ориентация на поверхности Р задается симплектической структурой ш. Граф К = Р_1(0) разбивает Р на кольца С\, ... , Cj.
Определение 6.2. Кольцо С = Ст будем называть положительным, если функция F на этом кольце больше нуля, и отрицательным, если F < 0.
Комментарий. Это определение эквивалентно следующему. Кольцо называется положительным, если поток а* течет по внешней границе кольца в положительном направлении. При этом граница кольца называется внутренней, если она
240
Глава 6
примыкает к графу К и внешней — в противном случае. Здесь мы считаем, что ориентация на внешней границе кольца индуцируется ориентацией атома при помощи внешней нормали. Отсюда следует, что свойство кольца быть положительным или отрицательным сохраняется при топологической сопряженности потоков.
Рассмотрим все ребра JQ графа К = Р_1(0). К каждому ребру JQ примыкают ровно два кольца — одно положительное и одно отрицательное. На каждом из этих колец определим, следуя лемме 6.1, переменные «действие-угол» s и ip и отрезки раздела (т.е. линии уровня функций «угол», втыкающиеся в ребра К{). В результате на каждом ребре мы получаем пару точек, которые мы обозначим через xf и х^ (соответственно, для положительного и отрицательного колец).
В дальнейшем будем называть xf и х^ соответственно положительной и отрицательной точками раздела на ребре JQ графа К.
В силу предположения о морсовости функции F, гамильтоново поле w = sgradF отлично от нуля во всех внутренних точках ребер графа К. Поэтому поток а* не является тождественным ни на одном из ребер JQ. Обозначим через ti время, за которое точка под действием потока а* перемещается из положения х^ в положение xf (рис. 6.5-а). Другими словами, ti однозначно определяется из соотношения xf = afi(x^). Рассмотрим теперь формальную линейную комбинацию вида I = ^ fjJfj как одномерную цепь I (в смысле теории вещественных гомологий) на графе К. Здесь ребра Ki рассматриваются как одномерные клетки. Ориентация на них задается потоком а*.
Ясно, что сама эта цепь не является инвариантом гамильтоновой системы, поскольку отрезки раздела не определены однозначно. Однако неоднозначность их выбора легко контролируется. Действительно, на каждом кольце мы можем независимо сдвигать эти отрезки «на одну и ту же величину». При этом и соответствующие им точки раздела также будут смещаться, но величина их смещения (в смысле потока иь) для точек, лежащих на одном и том же кольце, будет одинаковой.
Что это означает в терминах цепи /? Чтобы дать ответ на этот вопрос, рассмотрим замкнутую поверхность Р, которая получается из Р заклейкой дисками
Рис. 6.5
Классификация гамильтоновых потоков
241
всех граничных окружностей (т.е. заменой колец на диски). Граф К задает, очевидно, клеточное разбиение поверхности Р, и мы можем поэтому определить отвечающие этому разбиению группы вещественных клеточных цепей, циклов и границ Ck(P), Zk{P) и Bk(P) соответственно, рассматривая формальные линейные комбинации fc-мерных клеток (к = 0,1,2).
Используя эти гомологические термины, легко увидеть, что неоднозначность в выборе отрезков раздела отражается на одномерной цепи / G Ci (Р) следующим образом: она определена с точностью до одномерных граничат, е. корректно определенным является ее класс [/] в фактор-пространстве Ci(P)/Bi(P).
Мы видели при доказательстве предложения 6.1, что при топологическом сопряжении ? отрезки раздела переходят в отрезки раздела. Следовательно, и точки раздела xf и xj переходят при этом в некоторые точки раздела x'f = ?(ж^") и ж'7 = ?(ж^)- Кроме того, поскольку ? сопрягает потоки а* и а1', то из условия xf = сг^(ж^) следует, что x'f = a,tl(xr^). Другими словами, сопряжение ? сохраняет коэффициенты цепи I.
Это рассуждение показывает, что класс [/] ? С\(Р)/В\(Р) является корректно определенным инвариантом гамильтоновой системы на атоме (в смысле топологической сопряженности).
Нам удобнее будет разделить инвариант [/] на два более простых инварианта. Воспользуемся для этого следующим формальным изоморфизмом
С^РУВ^Р) “ Ci(P)/Zi(P) + Z!(P)/B!(P) = В0(Р)+Н1(Р),
где Bq(P) — группа 0-мерных границ, a i?i(P) — группа одномерных вещественных гомологий замкнутой поверхности Р. Указанный выше изоморфизм не является естественным, однако, его можно задать явно, введя скалярное произведение на пространстве одномерных цепей С\(Р). Пусть для определенности одномерные цепи вида 1 х 7Гг, где Ki — ребра графа К (т.е. 1-клетки), образуют ортонормированный базис в пространстве С\{Р).
