Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
В заключение отметим, что полученные результаты позволяют классифицировать интегрируемые системы с точностью до топологической сопряженности
248
Глава 6
не только на отдельных атомах, но и на замкнутых компактных 2-поверхностях. Для этого следует дополнить обнаруженные выше инварианты еще одним, являющимся аналогом ^-инварианта на ребре молекулы. Здесь вместо Р-вектора нужно взять П-вектор, построенный по функции периодов П(?), определенной на цилиндрах, соединяющих различные атомы. В результате получается некоторый граф Y, который естественно назвать точной молекулой. Совпадение точных молекул — необходимое и достаточное условие точной эквивалентности систем с одной степенью свободы на замкнутых 2-поверхностях. Детали мы изложим ниже.
6.3. Теорема классификации гамильтоновых потоков на 2-атомах с инволюцией с точностью до топологической сопряженности
В теореме редукции траекторной классификации трехмерных систем к точной классификации двумерных систем мы выделяли два естественных случая. Первый — когда 3-атом не имеет критических окружностей с неориентируемой сепаратрисной диаграммой. Соответствующий 2-атом в этом случае не имеет вершин-звездочек. Второй — когда такие критические окружности есть. В этом случае соответствующий 2-атом имеет вершины-звездочки. Теорема 6.1 дает полное описание «атомных» инвариантов гамильтоновых потоков на 3-атомах для первого случая. Теперь мы перейдем к описанию инвариантов на 3-атомах U(L), где есть критические окружности с неориентируемыми сепаратрисными диаграммами. В этом случае, как мы показали в предыдущей главе, теорема редукции также имеет место, но теперь мы должны рассматривать потоки на 2-атомах Ptr с инволюцией х• Напомним, что Ptr — это трансверсальное сечение в 3-атоме U(L). Его фактор по инволюции х дает 2-атом Р с вершинами-звездочками. В этом смысле Ptr — дубль атома Р.
Согласно теореме редукции, мы должны научиться решать следующую задачу. Пусть на поверхности Ptr задана инволюция х и гамильтонов поток а1, отвечающий гамильтонову полю w = sgradF, инвариантный относительно х• Нужно классифицировать потоки а* с точностью до топологических сопряжений, согласованных с инволюцией х • Другими словами, мы считаем две тройки (Р*г, сг*, и (P'tr-, &rt? х!) эквивалентными, если существует гомеоморфизм Р —> Р' такой, что х' — &ft = Для классификации нужны подходящие
инварианты. Естественно изготовить их из уже описанных выше инвариантов (Л, A, Z), учтя теперь наличие инволюции х ¦
Обозначим через (Л*г, Atr, Ztr) инварианты потока а* на дубле Ptr. Поскольку поток а* инвариантен относительно инволюции х-> то и эти инварианты выдерживают действие этой же инволюции. Поэтому можно считать, чисто формально, что они принимают значения на фактор-пространстве Р = Ptr/x • Поверхность Р — это 2-атом со звездочками. Обозначим эти значения через (Л, A, Z).
Другими словами, мы считаем, что инвариант Л — это набор чисел на вершинах графа К атома Р. Инвариант А — это элемент группы нульмерных^ границ Bq(P). Инвариант Z — это элемент группы гомологий Hi(P), где Р —
Классификация гамильтоновых потоков
249
замкнутая поверхность, полученная из атома Р заклейкой дисками всех его граничных окружностей.
Таким образом, траекторные инварианты гамильтоновой системы на 3-атоме U(L), имеющем критические окружности с неориентируемыми сепаратрис-ными диаграммами, принимают значения на соответствующем 2-атоме Р со звездочками, а не на его дубле Ptr. И это очень хорошо, так как атом Р определен однозначно, а его дубль Ptr — неоднозначно. Опишем теперь эту конструкцию подробнее.
Возьмем произвольное трансверсальное сечение Р*г для данного 3-атома U(L). На ней действует инволюция х-> определенная в предыдущей главе. Рассмотрим проекцию
(Ptr, Ktr) -> (Р, К) = (Ptr, Ktr)/x.
На вершинах графа Ktr уже расставлены числа Л*. Эти числа образуют инвариант Atr = {Ai : Л2 : ... : Am} потока Пуанкаре на трансверсальном сечении Ptr. Возьмем произвольную вершину графа К и сопоставим ей число А*, стоящее на прообразе этой вершины в графе Ktr. Вершина из графа К имеет либо один прообраз (тогда это — звездочка), либо два прообраза. В случае двух прообразов, на них стоит одно и то же число А* в силу инвариантности потока аг относительно инволюции х• Таким образом, мы корректно определяем во всех вершинах графа К некоторый набор чисел {А*}. Обозначим его через А.
Теперь определим инварианты Д и Z. Для этого рассмотрим все кольца дубля Ptr. Они разбиваются на два класса. Первый класс — кольца, переходящие в себя под действием инволюции х• Второй класс состоит из пар колец, переходящих друг в друга под действием инволюции х• На кольцах первого типа выберем отрезки раздела произвольным образом. Отметим сразу, что полученный набор отрезков раздела на каждом таком кольце будет автоматически инвариантен относительно инволюции х-
На кольцах второго типа поступим так. Берем пару колец, переходящих друг в друга при действии х• На одном из колец выберем отрезки раздела произвольным образом. На другом кольце в качестве отрезков раздела возьмем их образы под действием х-
