Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Мы утверждаем, что эта система имеет нулевые инварианты А и Z. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим один из трансверсальных отрезков, являющийся границей между двумя соседними крестами. Рассмотрим одну из его половинок как начальный отрезок раздела на одном из колец. Восстановим теперь все остальные отрезки раздела на этом кольце. Они уже не будут, вообще говоря, совпадать с граничными отрезками между крестами, но как нетрудно заме-
254
Глава 6
тить, соответствующие точки раздела будут в точности совпадать с точками вида Ni П Ki, где Ni — граничный отрезок между двумя соседними крестами, пересекающий ребро Ki. Проделав эту процедуру для всех колец мы убеждаемся в том, что точки раздела xf и х^ будут совпадать, что и означает равенство нулю инвариантов А и Z. Предложение доказано. ¦
Среди всех систем на V с нулевыми значениями А- и Z-инвариантов мы выделим одну специальную систему, называемую 0-моделью. Как мы только что видели, система на атоме может быть склеена из систем, заданных на отдельных крестах, окружающих вершины графа. Рассмотрим простейшие системы на таких крестах. А именно, представим каждый крест на плоскости М2 (и, v) в виде области |«| ^ 1, |г>| ^ 1, \F\ ^ ?о? ГДе F = uv. Рассмотрим на этом кресте дифференциальную форму Л j du A dv и гамильтоново векторное поле w = sgrad F. Одним из свойств этой системы будет то, что функция Пi(F), определяющая время движения потока внутри креста (в г-ом квадранте) будет очень простой
Ui(F) = —Aj In |F|.
Здесь Aj — значение А-инварианта на соответствующей вершине Sj графа К. Склеим теперь поверхность Р из «канонических крестов». Склейку мы производим по граничным отрезкам, каждый из которых параметризован функцией F. Разумеется, мы склеиваем между собой точки этих отрезков с одинаковым значением функции F, так что в результате функции на отдельных крестах сшиваются в единую функцию F на атоме. Кроме того (пользуясь теоремой Дарбу) мы можем гладко сшить и симплектические структуры и гамильтоновы потоки. В результате мы получим некоторую гладкую гамильтонову систему w = sgrad F на всем атоме Р. Отметим, что в этом случае отрезки, по которым склеивались кресты, уже в точности будут отрезками раздела. Построенную систему мы и будем называть 0-моделью данного атома V.
Изучим теперь более подробно свойства представления Ф*. Отметим, что пока интерпретация набора чисел га = {га*} как коцепи остается загадочной. Однако сейчас мы увидим ее естественность.
Ниже мы будем рассматривать несколько естественных^бъектов:
К(Р) — клеточное разбиение (комплекс) поверхности Р, порожденное графом К; _ _
К*(Р) — двойственное клеточное разбиение поверхности Р.
Как и выше, через Ci, Bi, Zi мы будем обозначать пространства i-мерных цепей, границ и циклов, отвечающих комплексу К(Р). Через С*, В*, Z* мы обозначим аналогичные пространства для двойственного комплекса К*(Р). И наконец, через Сг, Вг, Z% мы будем обозначать пространства i-мерных коцепей, кограниц и коциклов соответственно для коцепного комплекса, отвечающего клеточному комплексу К(Р). Отметим стандартные естественные изоморфизмы С* = С2~г, В* = В2~г, Z* = Z2~l. Через д и S мы будем обозначать граничный и кограничный операторы.
Классификация гамильтоновых потоков
255
Лемма 6.5. Если 1 -коцепь т является кограницей, то операция Фт не меняет класса топологической сопряженности системы. На языке инвариантов это означает, что имеет место включение В1 с кегфг, В1 с кег^-
Доказательство.
Докажем это утверждение для базисных кограниц. Одномерные коцепи мы будем интерпретировать как линейные комбинации вида где К* — ребра сопряжен-
ного графа. Рассмотрим произвольную вершину S графа К. Пусть К^, Ki3 — входящие в нее ребра, а , Ki4 — выходящие. Тогда базисная кограница (отвечающая вершине S) может быть записана так
т = к*1+к*з-к;2-к*4.
Применим операцию Фт к 0-модели, склеенной из некоторого числа «канонических крестов». Ясно, что эту операцию можно провести на кресте, соответствующем вершине S. Операция состоит в том, что мы отрезаем от двух противоположных сторон угла по одному прямоугольнику, а затем точно такие же прямоугольники приклеиваем к двум другим противоположным сторонам (см. рис. 6.11). В результате крест из абсолютно симметричного превращается в крест «сплющенный» в горизонтальном направлении и «вытянутый» в вертикальном. Но различие этих двух крестов проявляется лишь с «евклидовой» точки зрения. С «гамильтоновой» точки зрения эти кресты совершенно идентичны: один из них переходит в другой в результате сдвига на единицу вдоль гамильтонова потока. При этом и симплектическая структура, и гамильтониан, и гамильтонов поток сохраняются. Но не меняя креста, мы не меняем и исходную систему, т.е. ф\{т) = 0 и ф2(ш) = 0. Лемма доказана. ¦
Следствие. Корректно определен линейный оператор
