Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Теперь точно таким же образом, как и выше, построим одномерную цепь ltr-Легко видеть, что эта 1-цепь инвариантна относительно х• Дело в том, что набор отрезков раздела был построен так, что он инвариантен относительно х-Рассмотрим теперь произвольное ребро графа К. У него есть ровно два ребра-прообраза в графе • Коэффициенты цепи /*г, отвечающие этой паре ребер, одинаковы. Это общее их значение мы и припишем ребру графа К. В результате получим некоторую 1-цепь, которую мы обозначим через I. Другими словами, мы фактически отождествляем множество ^-инвариантных 1-цепей графа Ktr с множеством 1-цепей графа К.
Теперь, точно так же, как и выше, из 1-цепи I мы изготовляем инварианты А и Z для гамильтонова потока аг, инвариантного относительно инволюции х-
Итак, каждому ^инвариантному потоку сг* на дубле, т. е. на трансверсальном сечении Ptr, мы сопоставили тройку инвариантов (A, A, Z), принимающих
250
Глава 6
значения на атоме Р = Ptr/x• Отметим, что на самом атоме Р никакого гамильтонова потока уже нет. Симплектическая структура «не спускается» с Ptr на Р, поскольку проекция Ptr —> Р не является локальным диффеоморфизмом около вершин-звездочек. Однако с формальной точки зрения искомые инварианты (Л, Д, Z) в конце концов появляются все-таки на атоме Р, а не на его дубле Ptr.
Эта тройка (Л, Д, Z) и дает полный набор инвариантов для гамильтоновой системы на 2-атоме с инволюцией (или, что то же самое, полный набор траекторных инвариантов на 3-атоме, имеющем критические окружности с неориенти-руемыми сепаратрисными диаграммами). Подчеркнем, что говоря о 2-атомах с инволюцией, мы имеем в виду инволюцию весьма специального вида: она является симплектической, сохраняет гамильтонов поток, и ее неподвижными точками являются некоторые из вершин графа Ktr. Кроме того, напомним, что здесь мы рассматриваем только системы с морсовскими гамильтонианами.
Теорема 6.2. Пусть даны два гладких гамильтоновых потока на атомах с инволюциями (сг4, Pfr, х) и (о7*, Ptr, х')- Эти потоки топологически сопряжены при помощи гомеоморфизма, согласованного с инволюциями х и х!, тогда и только тогда, когда соответствующие им инварианты (Л, Д, Z) и (А', Д', Z') совпадают.
Теорема 6.2 доказывается по аналогии с теоремой 6.1. Действительно, по инвариантам (Л, Д, Z) и (Л', Д', Z') мы можем однозначно восстановить обычные инварианты (Atr, Atr, Ztr) и A'tr, Z[r) этих систем. В силу теоремы 6.1 из их совпадения следует топологическая сопряженность потоков а1 и а'ь пока без учета инволюции. Однако этот недостаток легко исправить, учитывая симметрию инвариантов относительно инволюций.
6.4. Операция вклейки-вырезания
Рассмотрим произвольный седловой 2-атом (Р2, К) с заданной на нем гамильтоновой системой w = sgrad Р. Будем считать без ограничения общности, что К = Р_1(0) и Р2 = F~1[—e, е].
Рассмотрим важную операцию, позволяющую перестраивать систему на атоме. Эта операция будет менять класс сопряженности системы и наша цель состоит в том, чтобы понять, как именно он будет меняться.
Рассмотрим произвольное ребро графа К. Разрежем поверхность Р вдоль некоторого гладкого отрезка, трансверсально пересекающего ребро и траектории векторного поля w (пример показан на рис. 6.7). Рассмотрим в стороне от этого атома «прямоугольник» Mi = [0, Wj] х [—?, е], где ш* — некоторое положительное число, а 2е — «ширина» атома, другими словами — е и е являются пределами изменения гамильтониана F внутри атома. Введем на Mi естественные декартовы координаты (и, /),
Рис. 6.7
Классификация гамильтоновых потоков
251
где и ? [0, га*], а / ? [—?, е], и рассмотрим векторное поле —. Можно считать,
при желании, это векторное поле гамильтоновым относительно формы du Л df с гамильтонианом /. Траектории этого поля расслаивают прямоугольник в горизонтальном направлении, причем время прохождения каждой траектории внутри прямоугольника одно и то же и равно га*.
Вклеим теперь этот прямоугольник М* в разрезанную поверхность Р так, как показано на рис. 6.7: боковые стороны прямоугольника приклеиваются к берегам разреза, причем линии {/ = /о} становятся частью линий уровня {F = /о}. Другими словами, мы увеличиваем на га* время движения потока вдоль ребра Ki и на всех близких траекториях, вынуждая поток проходить дополнительный участок Mi. В силу теоремы Дарбу можно считать, что эти склейки проведены гладко, и в результате мы получаем новую гладкую гамильтонову систему w на том же самом атоме.
Описанную операцию Ф мы назовем вклейкой нового куска в исходный поток аг на ребре Ki графа К.
Рассмотрим теперь обратную операцию. Как и выше выберем трансверсаль-ный к ребру Ki отрезок и рассмотрим его сдвиг вдоль гамильтонова потока на время га*. В результате мы получим еще один трансверсальный отрезок. Эти два отрезка высекают на поверхности Р некоторый прямоугольник. Вырежем этот прямоугольник из поверхности Р и склеим естественным образом два берега разрезов (т.е. первоначальный отрезок и его образ при сдвиге на га*).
