Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Отметим, что коцикл у не может быть произвольным. Дело в том, что он содержит некоторые «симметрии», а именно: он принимает одинаковые значения на паре ребер, выходящих из одной вершины.
Легко видеть, что это — единственное ограничение на интересующие нас 1-коциклы. Устраним эту липь нюю (для нас) симметрию, перейдя от поверхности Р к новому объекту — клеточному двумерному комплексу Р, получающемуся из нее следующей склейкой.
Для каждой вершины отождествим друг с другом пару выходящих из нее ребер графа К. В результате
получаем некоторое непрерывное отображение р: Р —> Р. Возникает встречное
отображение р*: Z1(P) —у Z1(P), которое изоморфно отображает пространство
1-коциклов комплекса Р_на пространство интересующих нас «симметричных»
1-коциклов поверхности Р. В результате мы имеем следующее утверждение.
Лемма 6.10. Линейное пространство A*(V) естественным образом изоморфно
пространству Z1(P) 1-коциклов клеточного комплекса Р.
Найдем размерность пространства A*(V). В силу леммы 6.10 достаточно вычислить размерность Z1(P).
Рис. 6.13
260
Глава 6
Введем новый интересный объект — набор атомных окружностей, отвечающих данному атому V. Рассмотрим его граф К и произвольное ребро. Начнем двигаться по направлению к одной из двух вершин графа, являющихся концами ребра. Придя в вершину, мы можем однозначно выйти из нее по противоположному ребру креста (т.е. продолжать движение, не сворачивая). Движемся таким образом по графу К (вообще говоря, с самопересечениями) до тех пор, пока не вернемся на начальное ребро. Ясно, что в результате мы описали некоторую окружность, погруженную в 2-поверхность Р. Берем какое-либо из оставшихся ребер (если такие есть) и повторяем процесс. В результате мы представим граф К как объединение некоторого числа окружностей 71, ... , jq, погруженных в поверхность Р (рис. 6.13).
Определение 6.7. Построенные описанным способом окружности 71, ... , 73 будем называть атомными окружностями.
Каждая атомная окружность 7*, рассматриваемая как образ окружности при ее погружении в поверхность Р, реализует некоторый 1-цикл [7*] в группе одномерных вещественных гомологий Hi(P). Обозначим через 7ЯХ(Р) подгруппу в Н1(Р), порожденную всеми циклами [71], ... , [7^]. Пусть dim7i?x(P) — ее размерность. Далее, напомним, что каждый атом V имеет род g, т.е. число ручек поверхности Р.
Предложение 6.7. Имеет место следующее равенство:
dimA*(F) = (q — 1) + 2g — dim7 #Х(Р).
Из предложений 6.6 и 6.7 вытекает интересующая нас формула для размерности пространства Д(У) — пространства допустимых значений Л-инварианта на атоме V = (Р, К).
Следствие. Имеет место следующее равенство:
dim Д(У) = п — 2g — q + dim 7 Н1(Р),
где п — число вершин графа К.
Доказательство предложения 6.7.
Как мы уже знаем, dirr^*(F) = dim Z1(P). Но dim Z1(P) = dimЯ1(Р) +
+ dimP1(P), где В1 — пространство 1-кограниц. Поэтому требуемое равенство сразу вытекает из доказываемых ниже лемм 6.11 и 6.12. ¦
Лемма 6.11. Имеет место следующее равенство:
dimBx(P) — q — 1,
где q — число атомных окружностей.
Доказательство.
Ясно, что число независимых 1-кограниц в комплексе Р на единицу меньше числа вершин комплекса Р. Поэтому нужно доказать, что число вершин комплекса Р равно числу атомных окружностей.
Классификация гамильтоновых потоков
261
Рассмотрим граф К — одномерный остов комплекса Р. Он получается из графа К в результате склеек пар ребер, выходящих из каждой вершины графа К. Рассмотрим q абстрактно заданных непересекающихся окружностей. Чтобы получить из них граф К, нужно объявить их атомными окружностями, т. е. отобразить в поверхность Р на граф К. На каждой такой абстрактно заданной окружности возникает набор точек — прообразов ее самопересечений и пересечений с другими окружностями внутри графа К. Эти вершины разбивают каждую абстрактную окружность на ориентированные дуги — будущие ребра графа К. Дуги, отвечающие тем ребрам, которые при переходе к графу К будут попарно склеиваться, мы обозначим одинаковыми буквами (рис. 6.14). Ясно, что эти дуги, снабженные одинаковыми буквами, стоят рядом и имеют противоположную ориентацию. Закрасим концы ориентированных дуг в белый цвет, а их начала — в черный (рис. 6.14). Из этого абстрактного набора окружностей мы хотим изготовить граф К. Для этого нужно провести два типа склеек.
Первый тип — попарные отождествления некоторых вершин, диктуемые пересечениями и самопересечениями окружностей внутри графа К (при выполнении отождествлений этого 1-го типа мы получим из абстрактного набора окружностей граф К). При этом каждая черная вершина обязательно отождествляется с некоторой белой вершиной. Дело в том, что каждая вершина графа К является одновременно началом двух выходящих ребер и концом двух входящих ребер.
