Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
ф'2-.Н1(Р)^Н1(Р),
удовлетворяющий соотношению ф'2 [т] = [ф2(ш)] для любого 1 -коцикла т ? Z1.
Этот оператор, как мы увидим ниже, имеет довольно прозрачный топологический смысл, и будет использован нами в следующем параграфе для описания области допустимых значений А-инварианта.
Лемма 6.6. Если 1 -цепь т является коциклом, то операция Фт не меняет А-инварианта системы. Другими словами, Z1 с ker^i.
Доказательство.
Применим операцию Фт к 0-модели, считая т = ^rriiKi произвольным 1-коциклом. Это, как нетрудно видеть, означает, что для каждого кольца атома V = (Р, К) (которое заклеивается диском для получения поверхности Р) сумма чисел пц по всем ребрам графа, примыкающим к этому кольцу, равна нулю. С точки зрения операции Фт это эквивалентно тому, что равна нулю сумма длин всех прямоугольников, «вклеенных» на данном кольце. Это означает,
256
Глава 6
что для каждой траектории ее период не изменился. Итак, все функции периодов сохранились. Но мы знаем (см. предложение 6.3), что через величины этих функций можно явно вычислить значение А-инварианта. Следовательно Д-инвариант
Поскольку фактор-пространство С1 /Z1 канонически изоморфно пространству 2-кограниц В2, то из доказанной леммы мы получаем следующее утверждение.
Следствие. Корректно определен линейный оператор
удовлетворяющий соотношению = ф\ о 8.
Ясно, что множество A(V) допустимых значений А-инварианта совпадает с образом оператора ф[. Этот оператор перерабатывает набор чисел Ь, стоящих на кольцах атома Р в набор чисел А, стоящих на его вершинах.
Следующее утверждение дает явную формулу для этого оператора. Рассмотрим произвольную вершину Sj графа К и примыкающие к ней четыре кольца Ci, Сц, Сш, Civ (см- аналогичную конструкцию и обозначения в предложении 6.3). Этим кольцам сопоставлены вещественные числа bi, Ъц, Ъщ, biv — коэффициенты нульмерной границы b ? Bq.
Лемма 6.7. Коэффициент A j нульмерной границы А = ф[(Ь) = ф(т), отвечающий вершине Sj, может быть вычислен по следующей формуле
Доказательство.
На самом деле эта формула нам фактически уже известна (см. предложение 6.3). Чтобы показать это, рассмотрим произвольную 1-коцепь га такую, что 8т = Ъ. Применим к 0-модели операцию вклейки-вырезания Фт. Ясно, что у исходной 0-модели все конечные части периодов были равны нулю. Теперь же после операции вклейки-вырезания конечные части периодов на каждом кольце изменились на суммарную длину всех прямоугольников, вклеенных на данном кольце. Но соответствующая сумма с точностью до знака совпадает с коэффициентом кограницы бт, стоящем на рассматриваемом кольце. Более точно, коэффициенты кограницы и конечные части периодов совпадают на положительных кольцах и отличаются знаком на отрицательных.
Другими словами, если какая-либо система получена из 0-модели операцией Фт, то конечные части функций периодов этой системы на кольцах атома с точностью до знака совпадают с коэффициентами кограницы b = 8т.
После этого замечания доказываемая нами формула непосредственно вытекает из формул предложения 6.3. ¦
не изменился и остался равным нулю, т. е. т ? kerc^. Лемма доказана.
ф[: в2 = в; -> Во,
Замечание. Сумма конечных частей Ь{ функции периодов (взятых со знаками) равна нулю. Это следует из приведенной выше интерпретации набора {&г} как кограницы коцепи т. То же самое утверждение легко следует из леммы 6.3 этой главы.
Классификация гамильтоновых потоков
257
6.5. Описание области значений А- и Z-инвариантов
Выше были введены множества A(V) и Z(V), являющиеся множествами допустимых значений А- и Z-инвариантов. Наша цель — описать эти множества, т.е. описать множества значений А и Z инвариантов.
Начиная с этого момента будем считать для простоты, что Л-инвариант имеет вид {1 : 1 : ... : 1}, т. е. все Л* равны между собой. Общий случай мы разберем затем отдельно.
Из определения оператора ф[ сразу следует, что множество допустимых значений A-инварианта совпадает с его образом Im(^). Поэтому наша цель — описать образ оператора ф^: Bq —> Во. Распространим действие оператора ф'г с Bq на Cq , т. е. — на все пространство 0-цепей сопряженного графа Г. Это распространение осуществляется при помощи доказанной выше явной формулы для оператора ф'х (см. лемму 6.7). Получающийся оператор обозначим через ф: Cq —Со.
Как и выше, вершины графа К мы обозначаем через Sj, а вершины двойственного графа Г = К* (отвечающие кольцам Ст) — через С^. В качестве естественных базисов в пространствах 0-цепей Со и Cq мы возьмем наборы вершин Si, ... , Sn и Ci, ... , Cf соответственно. Будем считать оба базиса орто-нормированными.
Пусть А(ф) = (ajm) — матрица оператора относительно указанных базисов. Укажем явный вид коэффициентов ajm. Из леммы 6.7 сразу вытекает, что числа ajm имеют следующий вид:
Здесь n(j, га) — кратность вхождения данной вершины Sj в кольцо Ст (кольцо может пройти мимо вершины один или два раза); число к(т) — количество вершин графа К, мимо которых проходит кольцо Ст (с учетом кратности).
