Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Болсинов А.В. -> "Интегрируемые гамильтоновы системы " -> 113

Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.

Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы — И.: Удмуртский университет, 1999. — 444 c.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemi1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 193 >> Следующая


Лемма 6.8. Образ оператора ф'х = ф\в* • Щ —> Во является пересечением образа оператора ф: Cq —> Со с подпространством Во.

Доказательство.

Требуемое равенство ф(В^) = ф(Со)Г\Во легко вытекает из двух очевидных фактов:

1) пространства 0-границ Bq и Во состоят из тех и только тех 0-цепей, сумма координат которых равна нулю,

2) оператор сохраняет сумму координат. ¦

Теперь мы можем заняться изучением образа оператора ф. Легко видеть, что этот образ является ортогональным дополнением к ядру оператора /3: Со —> Cq, матрица которого получается из выписанной выше матрицы А(ф) транспонированием и умножением каждой строки на число к(т). Это следует из того, что ядро Р совпадает с ядром оператора, сопряженного к ф.

если Sj не принадлежит границе кольца Ст\

если вершина Sj лежит на кольце Ст.

азт n(j, т)

к(т) ’
258

Глава 6

Опишем явно действие оператора (3. Набору чисел на вершинах графа К он ставит в соответствие набор чисел на кольцах Ст. А именно, число, которое он ставит на кольце С, равно сумме всех чисел, стоящих на вершинах графа К, мимо которых проходит это кольцо (с учетом кратности). Таким образом, оператор (3 оказывается довольно простым.

Рассмотрим линейное подпространство Д*(У) = ker/9 в Со, образованное всеми наборами чисел, стоящими на вершинах графа К и обладающими тем свойством, что для каждого кольца сумма этих чисел по вершинам, входящим в это кольцо, равна нулю. Легко видеть, что общая сумма всех чисел из такого набора тоже равна нулю, и поэтому A*(V) = ker/9 является подпространством в В0. В результате мы приходим к следующему утверждению.

Предложение 6.5. Пусть A-инвариант имеет вид {1 : 1 : : 1}. Тог-

да пространство A(V) допустимых значений А-инварианта для данного атома V = (Р, К), является ортогональным дополнением к подпространству A*(V) в В0.

Рассмотрим теперь случай, когда A-инвариант произвольный. Введем новое пространство Д*(У, А). Оно получается из подпространства Д*(У) следующим образом. Рассмотрим линейное преобразование пространства Со в себя, задаваемое на базисе, состоящем из вершин Si, ... , Sn, диагональной матрицей, по диагонали которой стоят числа Ai, ... , Ата. Матрица определена с точностью до скалярного множителя, что не влияет на дальнейшие рассуждения. Образ подпространства A*(V) в результате описанного линейного преобразования мы и обозначим через Д*(У, А). Отметим, что это подпространство уже не обязано лежать в В0.

Предложение 6.6. Пусть A-инвариант является произвольным. Тогда пространство A(V) допустимых значений А-инварианта для данного атома V = = (Р, К) является пересечением ортогонального дополнения к Д*(У, А) с подпространством В0.

Доказательство этого утверждения проводится точно так же, как и доказательство для случая А = {1 : 1 : ... : 1}. ¦

Отметим также, что из этого утверждения легко вытекает тот факт, что размерность пространства A(V) не зависит от значения А-инварианта.

Вернемся теперь снова к случаю, когда A-инвариант единичный.

На время мы можем забыть о гамильтоновых системах и рассмотреть совершенно частный вопрос о строении пространства Д(У).

Итак, у нас имеется замкнутая ориентируемая двумерная поверхность Р с вложенным в нее связным графом К. Этот граф разбивает поверхность на клетки (т.е. области, гомеоморфные диску), и каждая вершина графа имеет степень 4. Кроме этого выполнено еще одно условие: все двумерные клетки могут быть раскрашены в черный и белый цвет в шахматном порядке, т.е. так, что к каждому ребру графа К примыкают клетки разных цветов.

Элементом пространства A*(V) является набор чисел на вершинах графа К такой, что для каждой двумерной клетки сумма чисел, стоящих на вершинах, лежащих на ее границе, равна нулю (при этом мы учитываем кратность вхождения вершины в границу клетки). Наша задача состоит в том, чтобы описать
Классификация гамильтоновых потоков

259

все такие наборы и найти, в частности, размерность пространства A*(V). Мы сейчас сделаем это, используя гомологические характеристики пары (Р, К).

Сопоставим каждому набору b из A*(V) некоторую 1-коцепь на графе К. Напомним, что ребра графа К естественным образом ориентированы потоком, поэтому каждое ребро имеет однозначно определенные начало и конец. Рассмотрим 1-коцепь у = у*.К**, Для ко_ торой коэффициент yi равен числу, стоящему в вершине, являющейся началом ребра 7Q (рис. 6.12). Это правило задает нам линейный оператор Cq(P) —У С1(Р).

Лемма 6.9. Если Ъ 6 A*(V), то 1 -коцепь у =

= $(Ь) является 1 -коциклом. рис. 6.12

Доказательство.

Рассмотрим произвольное кольцо С атома V. Пусть К^, ... , Kip — ребра графа К, примыкающие к этому кольцу, a S^, ... , Sip — начала этих ребер, т.е. вершины лежащие на границе кольца. Нам достаточно проверить, что для любого кольца С сумма чисел вида yij равна нулю, где yij — значение коцепи у на ребре Kij, j = 1, ... , р. Но это очевидно, поскольку по определению yij равно числу, стоявшему ранее в вершине 5^., а сумма этих чисел была равна нулю по определению пространства A*(V). ¦
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 193 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed