Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
264
Глава 6
пересечения четное число и все они могут быть разбиты на пары, отвечающие разным знакам. Рассмотрим произвольную такую пару х и х'.
Шаг 2. Будем двигаться от точки х вдоль атомной окружности 7* (можно выбрать любое из двух возможных направлений движения) и ставить по очереди числа +1 и —1 на встречающихся вершинах до тех пор, пока не дойдем до точки х'. Первое число ставится по следующему правилу. Точка х лежит на каком-то ребре графа К. Это ребро имеет свою собственную каноническую ориентацию. Если индекс пересечения данного ребра графа К с окружностью а в точке х положителен, то в первой встретившейся нам вершине графа К ставим знак +1, в противном случае —1 (рис. 6.18). Затем на всех остальных встречающихся вершинах знаки чередуются. Если через какую-то вершину мы проходим два раза, то мы суммируем те числа, которые должны на нее поставить. Таким образом, мы получим некоторый набор чисел Ь(х, х') на одной из двух половинок атомной окружности, на которую ее делят точки х и х'.
Шаг 3. Проделаем теперь ту же самую процедуру для всех остальных парных точек пересечения коцикла и атомной окружности 7Затем повторим то же самое для каждой атомной окружности. Если через какую-либо вершину графа мы проходим несколько раз, то все числа, поставленные на нее, суммируются. Другими словами, мы суммируем между собой все наборы Ь(х, х') (рассматриваемые как 0-цепи).
В результате мы получим некоторый набор чисел на вершинах графа К (т.е. 0-цепь), который и обозначим через Ь(а). Отметим, что этот набор будет определен, вообще говоря, неоднозначно. Однако он всегда будет удовлетворять следующему легко проверяемому свойству: 1-коцепь $(&(а)) является коциклом, гомологичным а. Другими словами, описанное выше отображение Ь, сопоставляющее каждому коциклу некоторую 0-цепь Ь(а), является обратным отображением к $. См. определение $ перед леммой 6.9.
Как мы уже отмечали выше, существует р = 2g— dim у Hi (Р) линейно независимых классов ai, ... , ар ? Нг(Р), ортогональных подпространству уН1 (Р). Обозначим отвечающие им 0-цепи, построенные описанным выше способом, через b(a 1), ... , b(ap).
Классификация гамильтоновых потоков
265
Предложение 6.8. Набор 0-цепей Ъ{71), , Ъ{7g-i), Ъ{а\), ... , &(ар) образует
базис пространства А*(У).
Доказательство.
Доказательство этого утверждения фактически вытекает из леммы 6.10, которая дает интерпретацию элементов пространства А* (У) как 1-коциклов комплекса Р, или, что то же самое, как 1-коциклов из Z1(P), удовлетворяющих условию симметричности. Напомним, что каждой 0-цепи мы сопоставили выше некоторую 1-коцепь: каждой вершине S графа К мы сопоставили 1-коцепь вида $(S) = Ki + Kii, где Ki и K# — ребра графа К, выходящие из вершины S, и затем продолжили это отображение по линейности. Для доказательства нашего утверждения нам нужно, в частности, показать, что 1-коцепи, отвечающие при описанном соответствии 0-цепям
являются коциклами и кроме того линейно независимы.
Рассмотрим сначала 1-коцепь, отвечающую 0-цепи 6(7*). Пример изображен на рис. 6.17. Легко видеть, что эта коцепь является не только коциклом, но даже и кограницей вида 8(^2 S*), где суммирование ведется по всем белым вершинам S атомной окружности 7*. Напомним, что выше (см. лемму 6.11) белым цветом мы обозначили те вершины, которые являются концами ребер атомной окружности. Далее, мы показали в лемме 6.11, что белые вершины атомной окружности склеиваются в некоторую вершину комплекса Р. Отсюда следует, что построенные нами 0-цепи 6(71), ... , 6(7g_i) в точности отвечают элементарным кограницам
вида 6(Si), ... , <J(?g_i), гДе • • • ? Sq-i — вершины комплекса Р, отвечающие атомным окружностям.
Рассмотрим теперь 1-коцепь, отвечающую 0-цепи Ь(а), где а — один из коциклов ai, ... , ар. Мы утверждаем, что эта коцепь является коциклом, гомологичным коциклу а. Если мы это проверим, то наше утверждение будет доказано, поскольку коциклы c*i, ... , ар были выбраны независимыми по модулю кограниц (т.е. как классы когомологий). Для проверки нам следует вернуться к процедуре построения Ь(а) по коциклу а. Без ограничения общности мы можем считать, что окружность, реализующая коцикл а составлена из ребер сопряженного графа К*. Эти ребра находятся во взаимно однозначном соответствии с точками пересечения коцикла а и графа К. Все такие точки пересечения при построении цепи Ь(а) были разбиты на пары ж, х'. На аналогичные пары Kj(x') 6УДУТ
разбиты и ребра графа К*. Таким образом,
где суммирование ведется по всем парным точкам пересечения (х, ж'), а знаки зависят от согласованности собственной ориентации ребра сопряженного графа и ориентации коцикла а, рассматриваемого как погруженная окружность. См. рис. 6.18.
266
Глава 6
Поскольку Ъ(а) = х')-> то 1-коцепь, соответствующая 0-цепи Ъ(а),
получается суммированием 1-коцепей, соответствующих элементарным 0-цепям Ь(х, х').
Легко видеть, что каждая из этих 1-коцепей отличается от (±Kj^ ±K^x,^j на некоторую кограницу, а именно на общую кограницу всех белых вершин, через которые мы проходили, двигаясь по атомной окружности 7* из точки х в точку х' (рис. 6.19).
