Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
собственных числа (10.9) имеют положительную вещественную часть (в силу
справедливости (10.10)), т. е. особая точка М является притягивающей в
сторону расширения. Этой особой точке отвечает точное решение, устойчивое
при расширении пространства:
qi=q2= g? q3 = q\t\ (10.11)
<p =-ayr -1^3|- (q°s)-V* In t.
124
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЁЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. И
Отметим, что условие (10.10) существования в физической области
притягивающей в сторону расширения особой точки М совпадает с условием
(9.10) отсутствия отрезка притягивающих особых точек на линии Ьу (9.6).
Поэтому, если а < 1, то при изменении параметра к от 0 до 1 сначала
решения в заполненном пространстве имеют при ?->• оо асимптотику (10.11),
тогда как решения в пустоте имеют асимптотику (9.7), а затем при J/ (1 -
к)/( 1 + ЗА;) все] решения имеют асимптотику (9.7). Таким образом,
изменению параметра к уравнения состояния материи соответствует
качественное изменение асимптотических свойств решений в однородной
космологической модели VI типа. Однако в любой из устойчивых асимптотик
метрики (9.7) или
(10.11) для моделей III и VI типов нет изотропизациипри? ->• оо.
Исследуем особые точки динамической системы (8.10) (пг = 1, п2 - -1) при
= у2, w = 0. В этих особых точках необходимо Si = s2 и либо Н2 =0, либо
Si = -1/|/ 3. Поэтому система (8.10) при уг = y2J w = 0 имеет три особые
точки:
1) особая точка Фх (s* = -1/|АЗ), принадлежащая отрезку Флх;
2) две особые точки /+ и в которых si = s2, Н2 (/+) = 0, координаты si
= s2 = s и ss определяются условиями
2s2 + 4=1, -*L=2 1 + 2a'j?^12 + 3a2 .
1 * s 1 + 4a2
Собственные числа системы (8.10) в этих особых точках имеют вид
%w = 8s3 < 0, Xi, 2 = ± 2 У 2а (2s3 - si - s2),
l - ft 2 a
у 1 + 3a*|A,i|.
Таким образом, особые точки /+, /_ невырожденные и неустойчивые. Из
особых точек /4- выходят одномерные сепаратрисы, которые лежат на
инвариантном многообразии (w = 0) и поэтому не отвечают никаким
физическим решениям. Трехмерные сепаратрисы, входящие при оо из
физической области многообразия
S в особые точки /±, определяют следующие (неустойчивые) асимптотики
метрики при сжатии пространства (? -> 0):
§ io] СПЕЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
125
Отметим, что для особой точки показатели всех степеней t в (10.12)
положительны при всех а, т. е. q\ -*¦ 0. Для /+ получаем (4 + #)/(12 - $)
0 при всех а, тогда как (4 - Зж)/(12 - х) 0
при а ^ 1, т. е. при а>1 в асимптотике (10.12) имеем qx 0, q2 0, g3 ->•
оо (? -> 0). При а - 1 асимптотика (10.12) в особой точке jf+ принимает
вид
qi^q2^ qlt, g3 Зё const.
Особые точки j+ и /_ лежат на угле границы Г; этот угол Г," f~| п Го (w =
0, Нг = 0) является двумерным цилиндром S1 X I. Весь цилиндр заполнен
сепаратрисами окружностей (г|з, 1) и (г)), 2).
Рис. 18. Особые точки динамической системы (8.10) на многообразии S для
однородных космологических моделей III и VI типов.
Особые точки /+ и /_ на цилиндре неустойчивы, и их сепаратрисы идут в
границы отрезков /х и /2 на окружностях (г]), 1) и (г]), 2) и в образы
этих границ при отражении 0. Эти сепаратрисы делят цилиндр на шесть
областей; в четырех из них траектории имеют начало и конец на одной
окружности, а в двух областях начало и конец каждой траектории лежат на
разных окружностях.
Особые точки динамической системы (8.10) на компактном многообразии S для
моделей III и VI типов изображены на рис. 18.
IV тип. Особые точки динамической системы (8.10) - (8.18) на
компактном многообразии S для модели IV типа = 1, п2 = = п3 = 0, а > .0)
при у2 Ф 1 и асимптотические свойства соответствующих решений исследованы
в § 9. Система (8.18) на инвариантном многообразии^ = 1, Н2 > 0 имеет
четыре особые точки:
1) особая точка Ф(tm) ^ = s2 --------, z1 = 0,wi==0)- конце-
вая точка отрезка Флх;
2) особая точка L0 = s2 =---------> Н = 0, Wi= "з^г j - кон~
цевая точка отрезка Ly(9.6), Я2(Ь0) = 0*
426
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. if
оч " •/" -2 + /3 " -2-/3
3) две особые точки i+ Si =-------, s2-------
3/2 ЗУ2
л л\ • / -2- /з -2 + ^3 А
Zl = 0, m>i = OJ , Ц*1 = 3/- , ga= зу- , г! -О,
Wi. = о J , H2(i±) = 0.
Полная совокупность особых точек динамической системы на многообразии S
для модели IV типа показана на рис. 19.
ф;'° Флх Ф°г°
Л-
Рис. 19. Особые точки динамической системы (8.10)-(8.18) на многообразии
S для однородной космологической модели IV типа.
Собственные числа системы (8.18) в особых точках Ф2°* Ь0, i± имеют вид
Ф": ^,=/3(1-А), Ьч = /3(1-А), Xwl = -2
1 -j- 3&
V з '
X"=2-l±|*-, l-,=0,
(10.13)
i±: К = 4 (si - s2), Ц = 3 (1 - k) (sx + s2) < 0,
%m = 4 (si + s2) < 0, =4 (s2 - Si).
Согласно (10.13), особые точки Ф(tm), i+ и i являются неустойчи-выми; особая
точка L0 принадлежит отрезку отталкивающих особых точек на линии Ьу
(9.6). Сепаратрисы особых точек Ф2°, i_, Z/0 лежат на компонентах границы
Tw(w = 0) и Г2 (г/х = 0, у2 = = 1) и поэтому не отвечают никаким
физическим решениям. В неустойчивую особую точку i+ из физической области
