Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ С ДВИЖЕНИЕМ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. Ш
Координаты 4 удовлетворяют тождеству
is (4)2=i.
fr, У=1
Две системы координат, sj и ш, вместе покрывают девятимерный шар D9,
причем в окрестности центра шара используются координаты si, а в
окрестности граничной сферы - коорди-
з
наты si, w. Граничная сфера 2 (4)2 = 1 определяется условием
К >=1
w = 0 и соответствует бесконечности по координатам sk.
Динамическая система (2.4) в координатах (2.10) после замены времени
dxx @2
dx 2 | g |d-*)/2
принимает вид
Sk = W [- | у | (Ыуаа - уЯ) +
4" УыУгд 4" si (| У I (saJ/^ s^ya^) Уа^уУуа)] 4" 4-(Si-s(s") Нг(\ - к) -
__________________8 I У I _________________
(2.11)
X
w =2w
(1 + к)[Нг + (Я* - Ш (1 + к)~* wxaxb | у | уаЬ)Ч\
X [хкхауа> - кХаХьуаЩ - si (xaxvif^si - kxaxbyabsy)],
Ун = 8 (- Уг$ 4- УнУа^Уча), (2.12)
Sa (4 (1 к) Нi) $Уа$уУуа 4"
4- W (| У I (S"yPP - 4 г/ар) - Уа^Ууа 4-
: (Vy IУI yvP"g - кхахь IУ I ^at>sy)
4-
(1 4- к) (Hl + (Я* _ 16* (1 + *)-* wxaxfj \ у | уаЪ)Ч'-)
G = 4G (sa - 2у<х$8уУуа) •
Здесь
ях = Я/(c)2 = (б'")2 - 2&? + V4 Ш (2 ] г/ I - 1), ха =
Система (2.12) содержит замкнутую подсистему в координатах
4, Vi], w - это следствие масштабной инвариантности исходной
динамической системы (1.17).
Компактное 11-мерное многообразие S, на котором рассматривается
динамическая система (2.12), вложено в 17-мерное про-
з
странство Z)9 X ?8, где S8 - единичная сфера и выде-
ij
ТИПИЧНЫЕ СОСТОЯНИЯ МЕТРИКИ
135
ляется в нем естественными условиями
з з
yoS* = Soy, Уц = УН, S ""=*. S (4)2=1,
i, 1 fr, >=1
I" | = det||yw||>0, 0<";<оо, Z>0, *{<0. (2.13)
Из условия К > 0 следует, в частности, что
Ях > О, Я? > 16* (1 + ЙГ2 иед I у I уаь.
Граница Г многообразия S состоит из четырех компонент: Г0, Гь и Гт,
которые определяются следующими условиями:
Г0: det || уи || = 0; IV К = 0; Г№: w = 0; Гт: 4 = 0. Очевидно, что
система (2.4) - (2.12) непрерывно продолжается на компоненты
границы Г0, и Гт и компоненту границы Гх при Нг Ф 0. При Нх~>0 выражения,
содержащие Нг в знаменателе (см. (2.12)), в силу условия
Н\ > 16ft (1 + k) "2 wxaxb I у I yab (2.14)
ограничены сверху величинами
cff! 1 XkX} 1 У1 У ь 1 , c\xlc\(\y\yiiw)1!'. (2.15)
хах Ь \У\У
Поэтому такие выражения стремятся к нулю при Нг 0, исключая точки, в
которых матрица уц однократно вырождена, причем ха,хъ I У I УаЬ ~ 0" iv ф
0, (#!, х2, х3) 0. Таким образом, всюду,
кроме этих исключительных точек, которые выделяются двумя условиями: det
|| уц\\ = 0, хахъ \у \ уаЬ = 0, система (2.12) при jfiTi -> 0 непрерывно
продолжается на границу Г.
Компоненты границы Г0, Г1? Tw являются инвариантными многообразиями
системы (2.12), т. е. траектория, начавшаяся на границе, остается на ней
все время.
§ 3. Степенные асимптотики. Типичные состояния метрики
на ранней стадии расширения пространства
Найдем степенные (по t) асимптотики метрики модели IX типа с движением
вещества при сжатии пространства. Метрика, имеющая такую асимптотику, в
координатах (2.10) представляется траекторией системы (2.12), входящей в
одну из особых точек этой системы. В силу существования монотонной
функции F =sl/wV2 | у |1/3 все особые точки системы (2.12) лежат на
компонентах границы Г0 (| у | = 0) или (w = 0). Особые точки образуют
шесть множеств: Фдх" Т, А, В и К. Исследование
поведения динамической системы (2.12) в окрестности этих особых множеств
показывает, что все они, так же как и в случае диаго-
136 КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ С ДВИЖЕНИЕМ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. III
нальной модели IX типа (без движения вещества), являются неустойчивыми.
1. Множество Флх имеет размерность 5 и определяется усло-
1
виями -----------w = О, ijij произвольны, Нх (Флх) = 1*
V з
Система (2.12) на многообразии S имеет следующие собственные числа в
особых точках Флх-*
= Я2 = (1 - k)/Y з,
Я3 = Я4 = Я5 = 3 (1 - к) (переменные 4)"
Я6 = -2 (1 + Зк)/]/^3 (переменная и?),
Я7 = . . . = Яи = 0 (переменные у*,-).
В пятимерное множество особых точек ФЛх из физической области
многообразия S входит шестимерная сепаратриса (отвечающая отрицательному
собственному числу Яв), которой соответствуют диагонализуемые метрики
(движение вещества отсутствует) с квазиизотропной асимптотикой, найденной
Лифшицем и Ха-латниковым [48]:
gu (t) ~ (3.1)
(здесь синхронное время ? -> 0).
2. Множество N, имеющее размерность 2, определяется условиями
/1 0 0\ fsx 0 0\
и11 = ^1 о о оМ', || 4II == <2i о о й.
\0 О О) \0 о sj
Здесь и ниже Qx - произвольная ортогональная матрица;
Sl = -2 (3 + к) (43 + 2к + 3/c2)-V% s2 = - (5 - к) х
X (2 (43 + 2к + 3Л2))-1/.,
7У._ 8 (1 -f~ 3fc)(l /с) " __ 8 (5 к)
43 + 2А; + ЗА;2 ' "IV*)- 43 + 2 А; + ЗА;2 *
Собственные числа системы (2.12) в этих особых точках следующие: Хг =
Я2 - Х3 = -4 (1 + 3&) (2/(43 + 2к + Зк2))1^ (переменные
у*у),
Я4 = Я5 = Я6 = Я7 = 8 (1 - к) (2/(43 + 2к + 3к2))1/* (переменные
4)"
Я8,9 = 4 {1 -k±i (7а (1 - Л) (3 + 16* - ЗЛ2))1/"} X
X (2/(43 + 2к + ЗЛ2))1/* (переменные 4)"
Я10 = Яп = 0 (переменные ytj, 4)"
