Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
позволяющими выразить плотность энергии е и скорость материи иг через
компоненты метрики gtj и ее первые производные по времени gij.
Действительно, уравнение Эйнштейна
- 72/? = У1? имеет вид
в - gij -4^- L = ±\g (кЗк| - yL-4) +
+ ~r\s\- (l-t)/2 (2 \g I gaa - gapgat).
H = e ((1 + k) ul g00 - k) 1 g p*>/", (1.10)
Уравнения Эйнштейна i?oa = Тш имеют вид
V2 - (1 ~t~ k) Sll0Ua,
(1.11)
где CaV - структурные константы группы IX типа (SO(3)) в стандартной
записи (1.1): n' = 1, а = 0.
Из уравнений (1.10), (1.11) и условия
ifig00 - uaubgab = 1
(1.12)
легко получить следующие выражения:
(1.13)
4х*г*|у|*____________________
(i + щн + (н* - m (i + *)-" xax#ab | g i*)*7*] '
(1.14)
где Xa = - Ч<к1С&, I g
| 2l ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ l3i
Подставляя (1.14) в уравнения (1.8), получаем замкнутую систему
дифференциальных уравнений второго порядка на компоненты матрицы gu (т):
9L 4 6L =^У)
dx
%аЪ
(1 + к)[Н + (Я* - 16* (1 + *)-* Хах^ь I g |*)V*]
Преобразуем систему (1.15) в систему уравнений первого порядка,
определенную в фазовом пространстве рг\ gtj. Импульсы plj определяются
выражениями
pH
-------(gli (In I g I)' - g*lgilCgjl). (1.16)
dSij
Система (1.15) в фазовом пространстве переходит в систему
т*-"* •"-w- (1Л,)
* dL
Функция II = gij-:-------L в координатах рг\ gti имеет вид
д*и
Н = |g|(1->)75 [(SP (Р ° S)f - 2SP (Р о g 0 Р о ё) +
+ -^(2|g|g"" - Sp(g2))] . (1.18)
Здесь Sp (У) - след матрицы Y, ро g - произведение матриц
Р = II Pis II и g = II gjk II.
Динамическая система (1.17) согласно проведенному выводу эквивалентна
полной системе уравнений Эйнштейна. Зависимость от времени скоростей ма и
плотности энергии 8 определяется из уравнений (1.10) - (1.12).
§ 2. Преобразование динамической системы
Динамическая система (1.17) определена в 12-мерном фазовом
пространстве (рг\ gtj - симметричные матрицы). Эта система
инвариантна относительно масштабных преобразований
р{[ -+рь, gij -+hgij, т к(шг>14
и поэтому допускает понижение порядка на 1. Для исследования системы
(1.17) методами качественной теории динамических систем мы преобразуем
ее, используя указанную масштабную инвариантность, в динамическую
систему, определенную на некотором 11-мерном компактном многообразии S и
имеющую до-
132 КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ С ДВИЖЕНИЕМ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. III
статочно простые (невырожденные) особые точки. Это преобразование удобно
разбить на три этапа.
1. Введем координаты Si = gki plj. Согласно (1.16),
Si = k|(1~')/2 (х"б? - 4), (2.1)
где Xfc = gkigij. Собственные направления матрицы SJk совпадают с
собственными направлениями матрицы кк, которые в работе [51] названы
казнеровскими осями. Матрица S = || Sk || при ненулевых скоростях иа не
является симметричной (в отличие от матриц g - || gu || и р = || pij ||).
Действительно, используя (1.11) и (1.16), получаем
Ха= - V. А С%\ g = v2(l + к) гщиа I = Sjc*r
(2.2)
Очевидно, матрицы S и g удовлетворяют тождеству
goSt = Sog. (2.3)
Здесь S1 - транспонированная матрица.
Система (1.17) в координатах 5*, gtj принимает вид
si = - II * I (tie(tm) - eHi) - gHgij] +
+ bi(-^-)H-gHW, (2.4)
Zv = "j J[(l-fc)/2' (^5* - ).
Система (2.4) имеет два первых интеграла L и ЛГ:
L - XJ + # + Х|, (2.5)
1 - A "-m-wa+fc) /9 й,
-г+гя] • М
Здесь Z = XaXbgab| g |fr. Используя формулы (2.2), (1.10) и (1.13),
получаем выражение этих интегралов через скорости иа и е:
L=f e2"° I ^ I ("1 + w2+"а.
Я = 2(1|г)<->'а"'в""й||г|, <2Л)
где й0 - компонента скорости в синхронной системе отсчета. При к 0 вместо
интеграла К (2.6) следует взять dK/dk (формаль-
преобразование динамической системы
133
но (2.6) дает К = О при к - 0). Интегралы (2.7) для случая к = = 1/3 были
указаны в работе [68]. В дальнейшем мы, используя выражения (2.5) и
(2.6), укажем важные применения этих интегралов к вопросу о типичных
состояниях~метрики на ранней стадии расширения пространства.
Система (2.4), как и общая система уравнений Эйнштейна в синхронной
системе отсчета (см. § 3 главы II), имеет монотонную функцию
r~w\tv-|-<s:> U -?-<0. (2.8)
При сжатии пространства функция F 0 и S] 0. Из монотонности функции F
следует, что траектории системы (2.4) не покидают область S\ <; 0.
Процесс расширения пространства описывается системой (2.4) в этой же
области (6i<^0), но с противоположным направлением времени.
2. Введем координаты
4 = G> (2'9)
где
е=(3 А)4'-
а, Э
Координаты ун, s^ удовлетворяют тождествам
з
S у\У==1. yoSl=Soy.
h ;=i
Координаты (2.9) удобны для изучения поведения системы (2.4) в
окрестности состояния максимального расширения, где det || gtj ||
достигает максимума и sl = 0.
3. Для изучения поведения решений (траекторий системы
(2.4)) в окрестности космологической сингулярности 6 = 0 необходимо
пополнить систему координат (2.9) границей на бесконечности по
координатам s{. Такое пополнение осуществляется с помощью введения
координат
= = Vu, (tm) = G, (2.10)
где
< = (2 $№• " = ( 2 (5&)2)'/г.
а, р=1 а, 13=1
134
