Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
В особые точки N из физической области 5 входит пятимерная сепаратриса,
представляющая диагонализуемые метрики, имеющие
ТИПИЧНЫЕ СОСТОЯНИЯ МЕТРИКИ
137
асимптотику
О О \
gij(t)~Qi[ о с2<(з+№Н0 о (3.2)
\ о 0 cyCs+frJ/aa+fc)/
Особые точки ФдХ и N являются невырожденными и неустойчивыми.
3. Множество Г, имеющее размерность 5, определяется условиями
/2-1/* 0 0\ (s 0 0\
II 2/ij II - (?i ( О 2J/" О Й. II 4 II = <?1 0 , x\q[.
\ О О О/ \о о О/
Здесь координаты s, а; удовлетворяют условиям s ^ О, 2s2 + а:2 = = 1, ш >
0 - произвольное число, Нг (Т) = 0.
В множество Г из физической области 5 входит семимерная сепаратриса,
представляющая метрики (с вращением осей при х Ф 0), имеющие асимптотику,
обобщающую асимптотику, найденную Таубом:
(Ci 0 0 \
gi} (t)" <?1 0 Ci + - c2xSfi q[, (3.3)
\0 -C^xst2 C2s2<V
Границей множества Т при 5 = 0 является множество вырожденных особых
точек Т°.
4. Множества А и 2?, имеющие размерность 6, определяются условиями
(Ух 0 0\ А 0 *5\
|1М = ^ 0 Л оМ', 11^11 = ^ о 1 4 w=o.
\° 0 <v Vo о
На множестве A sx = V4 $2? на множестве В s2 = 0; Нг (А)
=
= Я! (5) = 0. Особые точки А и В не имеют сепаратрис, входящих в них из
физической области ?, поэтому им не отвечают никакие асимптотики.
5. Множество К имеет размерность 7 и определяется условиями
w = О, Ях (Я) = 0. (3.4)
Множество К лежит в пересечении компонент границы Г0 f] Гх f] f] Г^. Эти
особые точки являются невырожденными (при sj ф Ф si Ф si) и неустойчивыми
(подробное исследование особых точек
13В
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ С ДВИЖЕНИЕМ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. III
К проведено ниже, в § 4). Сепаратрисы особых точек К лежат на границе Г и
идут (при направлении времени в сторону сжатия пространства) из одной
особой точки К в другую. Особым точкам К не соответствует никаких
степенных асимптотик. Эти особые точки вместе с их сепаратрисами являются
аппроксимацией (см. § 4) наиболее общего режима поведения метрики при
сжатии пространства - колебательного режима BJTX [50, 51].
Покажем, что при наличии движения вещества степенные асимптотики (3.1) и
(3.2) не реализуются. Из интегралов L (2.5) и К
(2.6) можно образовать интеграл М, инвариантный относительно
преобразований
gij -> X2gij, S{ -> JASl, t -> Xt. (3.5)
Интеграл M в координатах , w имеет вид
M = L • =
= + X1 + xl) I у pa-wftwfc^i-w/a+.ir) x
x (1+3k) (Z}/2 + =
= С (к) е"(з*-1)/(1+з*)й;р-1)/(1+3'с) I g |<*-i)/ft+3fr) x
X (ul + al + uf), (3.6)
где
ZX = H\ - 16A (1 + k)~2 wx^ | у | г/"Р.
Если метрика вплоть до сингулярности имеет асимптотику (3.1) или (3.2),
то соответствующая траектория системы (2.12) входит в особые точки Фдх
или N. Интеграл М (3.6) в особых точках Флх и N равен нулю. Поэтому
траектория, входящая в эти особые точки, соответствует метрике без
движения вещества, т. е. асимптотики (3.1) и (3.2) при наличии движения
вещества и при сжатии пространства вплоть до сингулярности не
реализуются.
Отметим, что значение параметра к = 1/3 выделено тем, что интеграл М при
к = 1/3 не зависит от плотности энергии г:
М ("г) = 2~?~ й~°2'31g i"1/3 + w2 + цз)-
Представляется естественным назвать движение вещества быстрым, если М^>
1, и медленным, если М 1.
При направлении времени в сторону сжатия пространства все траектории
системы (2.12) в силу наличия монотонной функции F (см. (2.8))
приближаются к границе Г. При этом вдоль каждой траектории F > - оо,
поскольку на границе F = - оо. Траектория системы (2.12), попав в малую
окрестность границы Г, определенную условием | F \ 1, начинает двигаться
вдоль траекторий
этой системы, лежащих на границе Г. Все траектории системы
КОМБИНАТОРНАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО РЕЖИМА
139
(2.12) на границе Г являются сепаратрисами особых точек и ведут из
одной особой точки в другую (мы не приводим здесь сепаратрисную
диаграмму, поскольку она в основном совпадает с приведенной в § 6 главы
II сепаратрисной диаграммой для диагональной модели IX типа). После
конечного числа переходов (которое всегда не больше трех) вдоль
сепаратрис особых точек Флх? N, Т, А и В траектория попадает в
окрестность особых точек К и начинает двигаться вдоль их сепаратрис. При
таком движении траектории метрика изменяется в колебательном режиме (см.
§ 4). Таким образом, все метрики модели IX типа с движением вещества,
кроме метрик, имеющих таубовскую асимптотику (3.3), выходят на
колебательный режим, который является поэтому типичным состоянием метрики
при сжатии пространства.
Определение понятия типичных состояний метрики дано в § 6 главы II. Для
однородной модели IX типа с движением вещества типичными состояниями
метрики на ранней стадии расширения пространства, определенной условием |
F\ =| d ( | g \l/*)/dt |^>
1, являются степенные режимы (3.1) - (3.3), соответствующие сепаратрисам
особых точек Флх? N, Т, вдоль которых траектории динамической системы
(2.12) на многообразии S могут отойти от границы Г.
При наличии движения вещества типичные состояния метрики на ранней стадии
