Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
\ (4 + fs)2 = 1 в области Нг >. 0, H2 = - (si - s2)2+
3 3
+ 4 (si + s2)2 - 2a2z2 - j a2w, w > 0. Особые точки системы
(10.6) образуют двумерный диск PF: уг = у 2, z = 0. Собственные числа
системы (8.14) в этих особых точках имеют вид
К = 0, = 0, к = 4/2(*! - s2), ^ = - 4/2(Sl -
*,).
(10.7)
120
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. II
Таким образом, особые точки W при si Ф s2 являются невырожденными и
неустойчивыми. Отрезок s± = s2, 0 < w < 2/3а2
на W состоит из вырожденных особых точек и соединяет особые точки Флх
(i/i = У2) и Lv (У = !)•
Траектории системы (8.14) могут пересечь инвариантное многообразие уг =
у2, лишь войдя в какую-либо особую точку на нем, т. е. в особую точку на
множестве W. Множество траекторий
Рис. 17. Общее расположение особых точек динамической системы (8.10)-
(8.14) на многообразии S для однородной космологической модели VII типа.
сепаратрис), входящих в седловые особые точки W, заполняет некоторое
трехмерное множество в четырехмерном многообразии S. Нетрудно проверить,
что для этих сепаратрис при вхождении в особую точку величины qi
стремятся к ненулевым константам, т. е. это именно те исключительные
траектории, которые имеют начальные данные на многообразии^Жо
коразмерности два (см. п. II § 9). Все остальные траектории системы
(8.14) никогда не пересекают многообразие у± = z/2, поэтому почти для
всех траекторий всегда уг > у2, или z/i < у2.
Перечислим особые точки системы (8.10) - (8.14) на компактном
многообразии S (рис. 17).
1) На компонентах границы Y\ (1/1 = 1, у2 = 0) и У2 (yi = 0, у2 = 1)
особые точки те же, что и для моделей класса А: две окружности (г(), 1) и
(г]?, 2); изолированные особые точки Ni и N2\ Ф?° и Ф2°; дуги (рзь 1) и
(р32, 2) на окружностях (г|), i) являются притягивающими при сжатии
пространства.
2) При w - 0, yi Ф у2 Ф 0 - линия особых точек Фдх* *
3) В области w Ф 0, уг ф у2 ф 0 - линия особых точек Ьу
(9.6); Ly содержит отрезок притягивающих в сторону расширения особых
точек - L*•
4) При уг = у2-двумерный диск W неустойчивых особых точек.
§ 10] СПЕЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 121
Сепаратрисные переходы между особыми точками систематизированы в
сепаратрисной диаграмме (табл. 6). Здесь ввиду отмеченной выше
инвариантности области ух ^> у2 рассматривается половина многообразия S
(yi^>y^)\ множество особых точек W разбито на две части: W+ (kz > 0, sx
>> s2) и W_ (si < s2).
iii и VI тип. Однородные модели II и VI типов определяются условиями т =
I, п2= -1, п3 = 0, а > 0, причем модель III типа выделяется условием а =
1, в этом случае алгебра Ли соответствующей группы G имеет одномерную
производную подалгебру (производной называется подалгебра, натянутая на
коммутаторы), при а Ф 1 производная подалгебра двумерна. Модель III типа
рассматривается ниже как частный случай модели VI типа; модель III типа
обнаруживает некоторые отличия в свойствах имеющихся асимптотик.
Все особые точки динамической системы (8.10) на соответствующем
компактном многообразии S при ух Фу2 указаны в § 9. Особые точки при уг =
у2, w Ф 0 удобно исследовать в координатах (9.4). Эти особые точки должны
лежать на инвариантном многообразии у= 1, v = 0, на котором динамическая
система
(9.5) принимает вид
х = хи - 8, й = и2 - 4 а2 - Н3,
IJ 1 ^ Го 2 I а2х2 io 2 /I (10.8)
Я3 = -4- 3и2 + их----4---а - * •
Система (10.8) в области Н3 0 имеет две особые точки:
1) L±: и = 2а, х - 4/а; Li лежит на линии особых точек Ьу (9.6) при у
= 1, Н3 (Ьг) = 0;
*=4/W.
*•(">"4 (тт?-"*)-
Отметим, что координаты этой точки не зависят от а. Характеристическая
матрица системы (9.5) в особой точке М распадается на два блока, поэтому
ее собственные числа легко вычисляются:
(10.9)
1'."= V-Щт ± /ття-2(10,(1+34"'
Аналогичная особая точка уже встречалась ранее в моделях VIII и VI0
типов. Особая точка М принадлежит физической области Я3 > 0 лишь при
а<К-пгяг- ("МО)
122 КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. II
Сепаратрисная диаграмма динамической системы (8.10) - (8.14) для
L'v флх е м о О W+
Ьу 2
ФЛХ 2
ф0° 1
Яг 1
W+ 3
W-. • 3
(Pi3i 1) 3 2
(Pl2> 1) 3 2
(Р2И 1) ' 2 3
ФзИ 1) 4 3 2 3
(Ргз> 1) 2 3
(Рз2, 1) 2 3
В частности, при а^> 1 точка М ци при каких значениях к не
/I_к
~1 ~з7Г точка М совпадает с точкой Li, лежащей на линии уже изученных
особых точек (9.6). Таким образом, значение а = 1 (модель III типа)
выделено тем, что при a 1 модель VI типа при некоторых значениях к (см.
(10.10)) имеет асимптотику, соответствующую Af? тогда как при а^> 1 таких
асимптотик нет.
§ 10J СПЕЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 123
v Таблица б
однородной космологической модели VII типа (при сжатии пространства)
w_ (Р13" 1) (Р12" 1) (P21, 1) (Рзъ *) (Р23" 1) (Рз2>
1)
2°
2e
2 T
3 2 T 2е
2 T
2 T
В случае, если точка М лежит в физической области Н3 О, все четыре
