Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
гиперболический поворот). В этом случае координаты qx в q2 не являются
собственными числами матрицы gtj (9.11) и, как нетрудно проверить,
подмногообразие матриц gtj, для которых qx = = q2, имеет размерность три
и поэтому целая область в пространстве решений пересекает многообразие qx
= q2. Этим объясняется существенное отличие динамики указанных моделей от
динамики модели VII типа - здесь амплитуда колебаний величины у = q2/qx
может быть неограниченной, в то время как в модели VII типа у <С 1.
В рассматриваемых однородных моделях класса В, так же как и для моделей
VI0 и VI10 типов класса А, имеется промежуточный режим поведения метрики
перед выходом (при сжатии пространства) на устойчивую казнеровскую
асимптотику (9.3) - колебательный режим на длинной эре (колеблются qx,
q2^> q3), который обусловлен дрейфом траектории системы (8.10) вдоль
сепаратрис неустойчивых особых точек окружностей (г|), 1) и (г|), 2).
Однако в классе В колебательный режим изменения величин Qu Чы Яз п0
указанным выше причинам существенно зависит от типа модели.
Сепаратрисы неустойчивых особых точек (ф, i) лежат на компонентах границы
Yt и Tw (w = 0). Система (8.10) на компонентах границы Yi (кроме Y2 для
модели IV типа) тождественно та же, что и для моделей класса А, и изучена
в § 6. Система (8.10) на компоненте границы I\y имеет вид
= Ъ2 ( 1 -j- ($1 S2)) (1 к)Н2 (1 ($i -j- ^d))i
s2 = Z2 (1 2 (5i - 5г)) + (1 - Щ Н2 (1 - s2 (s1 + s2 +
s3)),
(9.12)
S3 = Z2 (s3 (Sx S2)) ^2 ^3 ($x Ь" ^2 Ь" ^3)),
У1 = 8(/i (ybi, + y\s2 - Si), y2 = 8y2 (г/iSx + yls2 - s2).
Здесь
i <j i = l 7 - 8a* (2s3 - Si - s2)2 (щух + n2y2) yty2 2 (П1У1 - n2y2f
Для определенности рассмотрим сепаратрисы особых точек окружности (г|),
1) (система (8.10) для моделей III, VI и VII типов не меняется при
перестановке индексов 1, 2, а в случае модели
IV типа имеется только одна окружность (г|), 1)). Согласно табл. 2
знаков собственных чисел на стр. 70 из каждой точки (sj, s2, s3)
(9.13)
§ 9] ДИНАМИКА КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ КЛАССА В ИЗ
дуги ?2<Si((Pan *)'+ (Раз. 1) + (Рзг, 1))"окружности (г)), 1) вы-
ходит^одномерная сепаратриса, идущая по углу границы f] п г0: w = О, Н2 =
0. Вдоль этой сепаратрисы в силу системы
(9.12) имеем]
(¦ЧГ'У = 0> ^ = 8J/(si-s2), У = ^- (9-14)
Следовательно, в координатах sx, s2, s3 сепаратриса движется на сфере sj
+ st + S3 = 1 по дуге ус большого круга, вырезанного плоскостью sx + s2 =
cs3 (рис.
14). Направление этого движения определяется знаком sx =
= Z2 (- 1 + sx {sx - s2)). Множитель -1 + sx {sx - s2) =
= - si - S3 - SXS2 < 0, ПОСКОЛЬКУ St < 0 ( в силу tf2 > 0) на
многообразии S; поэтому направление движения определяется знаком Z2, или
(/г^ +
+ п2у2) I (пхух - п2у2)3. Величина I/ = y2/yi согласно (9.14) возрастает
до пересечения дуги 7с с дугой к (Si = s2), и у убывает после
пересечения.
В случае модели VII типа (щ = п2 = 1) на всех сепаратрисах sx + s2 = cs3
при с Ф 2 имеем у <С 1, иначе при у = 1 функция Н2 стала бы отрицательной
(#2 = - оо). Поэтому на этих сепаратрисах 72 ]> 0 и движение по дуге
происходит в одну сторону (ёг < 0), а величина у проходит через максимум
ут < 1. Конечная точка такой сепаратрисы получается из начальной точки
(sj, si, S3) отражением 0 в плоскости sx = s2: получаем (s2, sj, S3).
Если в начальной точке 2sl - s? - s2 = 0, то вдоль выходящей из нее
сепаратрисы st = s? и сепаратриса идет в ту же точку (sj, s2* S3) на
окружности (ф, 2).
В случае модели IV типа (пх = 1, п2 = 0) имеем Z2^> 0 (кроме 2s? - sx -
s2 = 0), поэтому сепаратрисы ведут себя так же, как и в модели VII типа
(но величина ут может быть любой).
В случае моделей III и VI типов (пх = 1,и2 =-1) имеются три типа
сепаратрис. 1) Вдоль сепаратрисы у<< 1, сепаратриса устроена так же, как
в модели VII типа. 2) Вдоль сепаратрисы у переходит через единицу, при
этом величина Z2 меняет знак и движение по дуге 7с меняет направление на
обратное, у растет до оо и сепа-
ординатах sx, s2, 53.
114 КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. II
ратриса входит в точку (5?, & si) на окружности (ф, 2). 3) Две
исключительные сепаратрисы входят в неустойчивые особые точки ]г и /2> в
которых у = 1, w = 0.
Найдем максимальное значение ут, которое достигается на сепаратрисах,
возвращающихся в точку исходной окружности (ф, 1). Максимум ут
достигается в точке (s, s, 53) пересечения дуги Ус с дугой х, при этом
4+4 2 s
4
(9.15)
Вдоль сепаратрисы имеем #2 = 0, поэтому из (9.13), подставляя выражение
(9.15), находим
Ут Т (si) _ 4 (2(4 + 82>-яз) ,916)
К - п2ут)* 4а2 (2*1 _ *1_ *1)2 4а* (*о + *о_ 2*0)2
Из этой формулы следует, что при стремлении начальной точки
сепаратрисы (5?, s2, s(r)) на окружности (ф, 1) к точкам я3 (-у= ,
4 1 \ 3 У 2
Ш'Ш) b3(W'W,()) (см- Рис- 14) имеем г/^ 0.
В случае модели VII типа функция ут/ (1 - ут)2 монотонна, и поэтому при
стремлении начальной точки (sj, s2, s°3) к точке С на дуге y2 (si + si =
2$з) величина ут монотонно возрастает до 1; в случае модели IV типа при
