Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
этом имеем ут ->• оо.
В случае моделей III и VI типов функция ут /(1 + ут)2 <; 1/4 при всех ут,
поэтому, если начальная точка сепаратрисы (si, si, si) находится на дуге
I\ (s2 < $i),
eg (2 (";+4-i
(9.17)
то вдоль такой сепаратрисы функция у = y2/i/i не имеет максимума и
монотонно возрастает до бесконечности, при этом сепаратриса входит в
особую точку (sj, s2, si) на окружности (ф, 2), осуществляя тем самым
такой же сепаратрисный переход, что и в моделях VI0 и VII0 типов класса
А. Если начальная точка (sj, si, 53) лежит вне дуги 11, то выходящая из
нее сепаратриса устроена так же, как и в случае модели VII типа (ут < 1);
если же точка (si, $2, 4) является одной из двух концевых точек дуги 11,
то выходящая из нее сепаратриса идет в неустойчивую особую точку Д
или /2 (у = 1, iv = 0). Отметим, что дуга 11 содержит точку
С (si -4-52 = 2s°) (см. рис. 14); при а->0дуга 1Х растягивается
на всю дугу s2 <
ДИНАМИКА КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ КЛАССА В
115
Опишем, основываясь на проведенном исследовании сепаратрис особых
окружностей (ф, 1) и (Ф, 2), свойства колебательного режима на длинной
эре в однородных моделях класса В. Соответствующие траектории системы
(8.10) аппроксимируются последовательностью особых точек и их сепаратрис,
мимо которых эти траектории движутся:
...->• (г|)h it) (i|)r+i, U+1) ('фг+г, fy+г) ^ (9.18)
Все сепаратрисные переходы между особыми окружностями в случае моделей
класса В однозначны, и за каждой сепаратрисой, идущей по компоненте
границы Ух (или У2), следует сепаратриса, идущая по компоненте границы (w
= 0), и наоборот.
Последовательность особых точек (фг, it) в (9.18) определяется следующими
отображениями (в скобках указаны компоненты границы, по которым идут
соответствующие сепаратрисы; в случае моделей IV и VII типов
ц+х = it = i, полагаем i = 1):
( (Гх^.1), г|) на дуге (<хь 1), (Ух),
К (г|)г, 1) = (%+1,1) = | (0г|)Г, 1), г|) на дуге s2 < su (Г*),
{ (%, 1), -ф на дуге (р31, 1).
(9.19)
Здесь отображение Т\ - проектирование (6.16) дуги ах из первой вершины
треугольника А: 0 - отражение 0 (s1? s2, s3) -К^2, sx, s3); при попадании
точки (ф5, 1) на дугу (рз1, 1), состоящую из притягивающих особых точек,
аппроксимация (9.18) заканчивается выходом решения на устойчивую
казнеровскую асимптотику
(9.3).
В случае моделей III и VI типов имеем
Я (%,!) = (Фч-i, *4-1) =
(г|)Ь2),-ф на дуге h, (Г*),
_ (ЗД, 1),ф на дуге (d, 1), (Ух),
- (0г|)Г, 1), г|) на дуге s2<*x вне 1и (Г*),
('Фг, 1), 'ф на дуге (р31,1).
Отображение К (x|)j, 2) получается из (9.20) ваменой индексов 1 2, 2-
*-1. Исключительные сепаратрисы, выходящие из гра-
ниц дуг /х и /2, идут в неустойчивые особые точки /х и /2 (см. § 10) и не
влияют на колебательный режим.
Последовательное изменение точки (s1? s2, s3) на окружности
S1 ($х + s2 + s3 = - У~2, 5? + si + si = 1) в силу отображений
(9.19) и (9.20) показано соответственно на рис. 15, а, б. На этих
рисунках наглядно видно, что колебания на длинной эре заканчиваются через
конечное число шагов при попадании точки г|)8
116
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. II
на дугу (Рзъ 1) (или (Р32, 2)). Также очевидно, что в случае моделей
III и VI типов колебания внутри отрезка 1\ (см. рис. 15, б) те же, что
и для моделей VI0 и VII0 типов в классе А.
При движении траектории (9.18) в окрестности особой точки ($ъ 5з) на
окружности (г|)г, it) метрика аппроксимируется казне-
ровским решением (9.3), при этом, в отличие от моделей класса А,
показатели р\ приближенно постоянны только в окрестности окружностей
(г|)г, it) и меняются вдоль обоих типов сепаратрис
Рис. 15. Последовательное преобразование особой точки на окружности S1
для однородных космологических моделей IV и <41 типов (а) и III и VI
типов (б).
(идущих по 7{ и Г^). Параметр казнеровских показателей и
за одно полное колебание величины у = q2lq\ в моделях IV и VII типов
уменьшается на 1, в то время как в моделях класса А параметр и
уменьшается на 2. Действительно, одному колебанию в моделях класса В
отвечают преобразования 07\ точки на окружности S1, а в моделях класса А
- преобразования Т2Тг\ при проектированиях Ti и Т2 параметр и уменьшается
на 1 (см. п. V § 6), а при отражении 0 параметр и не меняется.
Амплитуда последовательных колебаний величины у = qjqi на длинной эре
вычисляется согласно (9.16) и после подстановки выражений (9.21) и pt = 1
+ |/"2 s\ следующим образом выражается через параметр и казнеровских
показателей:
Здесь значение параметра и берется в начале данного колебания и
расположено (для моделей III и VI типов) вне отрезка Ii (9.17). При и*-+-
(]ЛЗ-1)/2 имеем ут ->¦ оо в модели IV типа и ут ->- 1 в модели VII типа.
(9.21)
(9.22)
§ 10} СПЕЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 117
Изменение угла ф за одно полное колебание (при этом траектория проходит
вдоль одной сепаратрисы (9.18) на Ух и одной сепаратрисы на Г^) в силу
системы (8.10) имеет вид
Дф=^ф^т1=-8а^ (9.23)
Переход вдоль сепаратрисы, идущей по компоненте границы Yi (у = 0), дает
