Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
S входит трехмерная сепаратриса, которой отвечает казнеровская асимп-
§ 10] СПЕЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 127
тотика метрики при сжатии пространства (t^O):
qi ~ g?f/3(1+1^3), q2 = qlf1^1-^(r), qs ^ qlt2/\ ф ->• const. (10.14)
Таким образом, в однородной модели IV типа наряду с устойчивыми при
сжатии пространства казнеровскими асимптотиками метрики (9.3) (в которых
qi, q2 ->• 0, q3 ->• оо при t *-> 0), соответствующими дуге притягивающих
особых точек фзь 1) на окружности (ф, 1), имеется также одна
исключительная неустойчивая казнеровская асимптотика метрики (10.14), в
которой ^2->оо,
ГЛАВА III
КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ОДНОРОДНЫХ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ С ДВИЖЕНИЕМ
ВЕЩЕСТВА И С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ
§ 1. Система уравнений Эйнштейна для однородной космологической модели IX
типа с движением вещества
Изучавшиеся в главе II однородные космологические модели без движения
вещества являются частным случаем решений уравнений Эйнштейна с
гидродинамическим тензором энергии-импуль-са материи:
Tij = (р + е) щи} - pgtj,
где иг - 4-скорость материи, г - плотность энергии, р - давление р=кг,
Более общими являются однородные
решения, в которых система координат, сопутствующая движению материи, не
является синхронной, или, наоборот, в синхронной системе координат
материя движется (т. е. компоненты скорости 1**^0 (i= 1, 2, 3)).
Пусть Х°, X1, X2, X3 - базис правоинвариантных при действии трехмерной
группы Ли G векторных полей на пространственно-временном многообразии М4
= R1 X G, причем поля X1, X2, X3 касаются группы G и коммутационные
соотношения имеют стандартный вид (см. главу II, табл. 1):
[Xе, ХЧ = 0, [X1, Xj] = C%X\ l
C\j - eijknk + 6j8ia - 6j'6j(Z, an3 = 0. ^
Для однородных космологических моделей компоненты метрики gij и скорости
материи иг (а также плотность энергии в и давление р) в базисе
правоинвариантных векторных полей Х°, X1, X2, X3 зависят только от
времени. В дальнейшем будет изучаться только (наиболее важная с
физической точки зрения) часть пространственно-временного многообразия М4
= R1 X G, в которой ограничение метрики gtj на группу G отрицательно
определено. В этом случае базис векторных полей Х°, Xх = {ега} можно
выбрать так, чтобы метрика ds2 имела вид
ds2 = goo (т) dx2 - gtj (т) eaefadaPdzfi, (1.2)
где матрица gtj (т) положительно определена, a goo (т) ниже будет задано
специальным выбором масштаба времен#,
УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА ДЛЯ МОДЕЛИ IX ТИПА
129
Уравнения Эйнштейна
Пц-гЫ gt, R=TU (1.3)
в базисе Х°, X1, X2, X3 определяют систему дифференциальных уравнений
второго порядка на матрицу gtj (т). В дальнейшем, в §§ 1-4, проводится
подробное качественное исследование системы уравнений Эйнштейна (1.3) для
однородной модели IX типа, а в § 5 указывается, как разработанные методы
используются при изучении остальных однородных космологических моделей с
движением вещества.
Для построения динамической системы, эквивалентной системе (1.3), удобно
воспользоваться следующим тождеством [84]:
= - 4- gijR) V~g bgijdt dG +
+ \giiV~=l>bRudtdG. (1.4)
Второе слагаемое в правой части (1.4), как известно [84], является полной
дивергенцией и поэтому обращается в нуль, если вариации метрики bgij по
пространству финитны. В случае модели
IX типа однородные вариации метрики являются финитными (в силу
компактности группы SO (3)). Поэтому в силу тождества
(1.4) уравнения Эйнштейна (1.3) (кроме (0, i) уравнений) следуют из
вариационного принципа
5 J R Y~g dl = - J T4bgij dt, (1.5)
где метрика gtj и ее вариации однородны (зависят только от t). Для всех
остальных однородных моделей однородные вариации метрики не являются
финитными. Тем не менее для всех моделей класса А справедлив вариационный
принцип (1.5), поскольку в классе Л для однородных вариаций метрики
справедливо тождество gxjbRij = 0 (см. формулы (3.5), (3.28) главы II). В
случае однородных моделей класса В второе слагаемое в правой части
(1.4) дает ненулевой вклад в вариационный принцип (1.5) (подробнее см. §
5).
Выражение T^bgij (см. (1.5)) для метрики (1.2) имеет вид
Tlibgij = еб lu-ppp + (1 + к) 8 (gabUaubgoobgoo - utvjbgi}). (1.6)
I & I
Здесь и ниже | g \ = det || gab ||.
Для упрощения выражения (1.5) выберем время т так, чтобы
goo (Т) = | * I*, (1.7)
тогда первое слагаемое в (1.6) при условии (1.7) равно нулю. Время т
связано с синхронным временем t (g00 (t) == 1) соотношением dt - | g
\V*dx.
130
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ С ДВИЖЕНИЕМ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. III
Согласно вариационному принципу (1.5) и (1.6), "тензорные компоненты" (j,
j = 1,2, 3) уравнений Эйнштейна (1.3) для однородной модели IX типа
являются линейными комбинациями уравнений
-----Jr~ф~ = 'Т" 8^и3~kgauaubgij)|g|(1+k)/2 (1-8)
^ ij
и уравнения Я? - V2 -R = ?о (поскольку вариации 8g00 связаны условием
(1.7)). Функция L (gtj, gi3) получается из V2 R Y - g отбрасыванием
полной производной по времени и имеет вид
L = 'U\g - 4ир) - v4| g \g \g**~
где = gayg^.
Уравнения Эйнштейна Ro - V2 Д = Г? и Roa = Тш являются связями,
