Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
расширения существенно зависят от величины интеграла М. Если для
некоторого решения М1 (быстрое движение вещества), то соответствующая
траектория системы
(2.12) никогда не может оказаться в окрестности множеств Фдх и N,
поскольку на этих множествах М = 0. Следовательно, при М 1 единственным
типичным состоянием метрики на ранней стадии расширения является
степенной режим (3.3), обобщающий таубовский режим. Если же М ^ 1
(медленное движение вещества), то типичными состояниями метрики на ранней
стадии расширения являются степенные режимы (3.1), (3.2) и (3.3), как и
для диагональной метрики.
§ 4. Комбинаторная модель колебательного режима
Приведем полное интегрирование сепаратрис особых точек и вывод
комбинаторной модели колебательного режима с помощью аппроксимации
траектории системы (2.12) последовательностью сепаратрис особых точек К,
мимо которых эта траектория движется (при сжатии пространства).
Для дальнейшего исследования удобно следующее инвариантное описание
множества К. Точка Р этого множества определяется двумя матрицами: Р =
(yih s*) (при этом w = 0,Нг (Р) = (Sp (s))2 -
- 2Sp (s2) = 0, s = || sj ||). Матрица ytj согласно (3.4) имеет ранг
1; пусть еу - собственный вектор матрицы отвечающий ее
140 КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ С ДВИЖЕНИЕМ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. III
единичному собственному числу. Согласно (3.4), вектор еу является также
собственным вектором матрицы s); пусть s - отвечающее ему собственное
число этой матрицы. (Эквивалентная формулировка: матрица уц является
проектором на некоторое собственное направление матрицы Sj).
Пусть sx > s2 s3 - три собственных числа матрицы Sy. Удобно разбить
множество К на три подмножества Кг, К2, К3, определенные следующим
условием: на Кх имеем s - st.
Собственные числа системы (2.12) и их собственные направления в особых
точках Кг следующие:
Ях = 2 (1 - k) (sx + s2 + $з) (переменные si),
Х2 = 8 (sn + sm - si) (переменная w), (4.1)
Я3 = 8 (si - sn), Я4 = 8 (s\ - sm) (переменные уи).
Здесь (si, sm, sn) = (slt s2, s3). Остальные семь собственных чисел Я5, .
. . , Х1г равны нулю и отвечают направлениям, касающимся множества К. В
силу условий
#i (К) = (Sl + s2 + S3)2 - 2 (Sl2 + s\ + si) = 0 и Sl + s2 +
+ s3 0
получаем, что s* ^ 0. Знаки собственных чисел Я2, Я3, Я4 в особых точках
Кг, К2, К3 указаны в следующей формуле:
Кг К2 Ks
- - -
Х2 - - + (4*2)
^3 + - -
^4 + + -
Таким образом, в каждой особой точке множеств Къ К2 и К3 имеются четыре
ненулевых собственных числа с противоположными знаками, следовательно,
эти особые точки являются невырожденными и неустойчивыми.
Проинтегрируем сепаратрисы особых точек К. Из каждой точки Р (уф si),
принадлежащей^!, выходит двумерная сепаратриса, идущая по компоненте
границы (w = 0) на уровне Нг = 0 (см. (4.1)). Эта сепаратриса имеет вид
n i t"\ -i I* \ ехр 8х^ °go // о\
i^-O, = yij(x1) = --- -¦ ¦ .--(4.3
[Sp ((exp (- 8^4)) о g0)2]1/2
где g0 - симметричная матрица такая, что g0sl = sg0 (тогда при всех тх у
(тц) sl= sy (тх); см. (2.13)) и ytj (- 00) = yijt Обозначим У% = уи (+
оо). Очевидно, что матрица ylj имеет ранг 1 и уЧ* =
- sy1. Нетрудно проверить, что равенство уЧ* = sy1 означает, что
§ 4] КОМБИНАТОРНАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО РЕЖИМА 141
матрица у1 является проектором на некоторое собственное направление
матрицы s, т. е. точка Рх = (y\j, sк) принадлежит либо множеству К2, либо
множеству К3. Из (4.1) следует, что в точку К2 по многообразию w = О, Нх
- 0 входит только одномерная сепаратриса, поэтому почти вся двумерная
сепаратриса, выходящая из точки Р, идет в точку Р1 = (z/i/, skl),
принадлежащую К3, и от нее отщепляется одномерная сепаратриса, идущая в
точку (z/f,, s3k), принадлежащую К2. Матрицы y}j и у\ являются
проекторами на собственные направления матрицы s{, отвечающие собственным
числам соответственно s3 и s2.
Из каждой точки Р = (у^, sk), принадлежащей К2, выходит одномерная
сепаратриса, имеющая вид (4.3), которая идет в точку Р1 = (ylj, si),
принадлежащую К3.
Из каждой точки Р = принадлежащей К3, выходит
одномерная сепаратриса, имеющая вид
/ ,v - j j -j ch. tn . sh t - sh tn - // /\
Уа (t) = yi}, s'k (t) = 4-^f- H-----^-L yl}, (4.4)
w (t) = -4 (sh t - sh t0) [sh t + sh t0 - 2 (sx + *2) ch ?0] ch"2?.
Здесь время t связано с xx соотношением dt = w (t) dxx, константа t0
определена условием th t0 = s3, где 0 > sx ^ s2 > s3 - собственные числа
матрицы^. Сепаратриса (4.4) определена jnpn ^0 ^ ^ h 0. При t = t0
получаем начальную точку Р =
= (Уф?к); при t = tt
sh fi=. ?<*"+ft)-ч,
(1 - (%)2)1/2
получаем конечную точку Р1 = (у г-7*, 4 Ш v (h) = 0, Нх (t) = 0. Из (4.4)
следует, что конечная матрица s{ (tx) получается как первая точка
пересечения кратчайшей дуги большого круга, проходя-
з
щего (на сфере 21 (4)2 = 1) через две матрицы^ и у^, споверх-/?,j'=l
ностью Нх (4) = (Sp (s))2 - 2Sp (s2) = 0. Матрица si (tx) имеет вид
¦*"?- , H + 2(- + --")"u (4.5)
У1+4 (в1 + *а)2-4*з ("!+"*)
Общий собственный вектор еу двух матриц s{ и ytj является также
