Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Богоявленский О.И. -> "Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике" -> 46

Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.

Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике — М.: Наука, 1980. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikachestvennoyteoriidinamicheskihsistem1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 121 >> Следующая

нулевой вклад в этот интеграл. Интеграл (9.23) по сепаратрисе, идущей по
компоненте границы Г^, можно вычислить явно в случае модели IV типа.
Действительно, в силу системы
(9.12) при Н2 = 0 (на сепаратрисе) имеем
Дф = - 8а[ (2s3 - si - s2) у 5ti = - а\ --3- ----- dy =
J J S1 S2
Ут o
=T(S + S)(i)(i^r)%=
0 Ущ
-Tr(i^br)E-~r(i?r?r)- <9-24>
Последнее равенство учитывает, что конечная точка рассматриваемой
сепаратрисы получается из ее начальной точки отражением 0: (s\, 4? s\) =
(s2, 5?, sl). Подставляя в полученную формулу выражения ?4 = 1 + У2 s* и
(9.21), находим выражение угла поворота осей gx, q2 через параметр и
казнеровских показателей:
''"-ТОТ' <9-25>
Для однородных моделей III, VI и VII типов формула (9.25) справедлива по
порядку величины при больших и. Из (9.25) следует, что полный поворот
осей, формально вычисленный за всю
N
длинную эру (2 Дф (и + О) > ПРИ N-+-00 расходится как - In N.
г=1 а
§ 10. Исследование некоторых специальных свойств однородных
космологических моделей V, VII, III, VI и IV типов
V тип. Однородная космологическая модель V типа (а = 1, щ = п2 - п3 =
0у содержит как частный случай открытое решение Фридмана q1 = q2~q3n
поэтому используется при изучении динамики возмущений этого решения.
Исследование однородной модели V типа проще исследования остальных
моделей класса 5, поскольку все метрики модели V типа без движения
вещества приводятся к диагональному виду (см. § 3) и, следовательно,
импульс
118 КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. IJ
рф = 0. Система (8.6) в этом случае имеет вид
^ = 2 qi(Pj+Pt-Pi). (Ю.1)
Pi = 2q^ + ¦ -- ~ Hu
3 3
Здесь Ях=2 PiPj- S Р\ - ^ЯгЯг- Условие (8.2) R = 0 дает
i<j i=l
СВЯЗЬ Ps= (Pl + />s)/2.
Система (10.1) в масштабно-инвариантных координатах
_ Mlh ,. . 2 (Pi-Pt)
Pi + P*' P1+P2
и новом времени Xii dxi/dx0 = - (Pi + P^) = -2Pa 0 при-
нимает вид
r = r(- 1 -f ( ¦) Нг + 4raj, p = i;( 1~&'Яа + 4г8),
(10.2)
9i = qi(v - 1), <2 = 92 (- v - !). 9з = - 9*,
P3 = - Ps Яг + 4г2).
Здесь Я2 = 4#!/(i>i + Р2)2 = 4 [- (Л - i>2)2 - Р3 (i>, - 2(Pt
+
+ Р,)) ~ 391921/(^1 + РгУ =
= - у2 + 3 - 12 г2. Первые два уравнения (10.2) образуют замкнутую
систему, определенную в половине эллипса: v2 + + 12 г2 < 3 (Я2 > 0, г <
0). Фазовый портрет этой двумерной системы показан на рис. 16. Здесь
имеются две притягивающие особые точки i± (г = 0, v = ± j/З), которым
отвечают устойчивые прй сжатии прост-
Рис. 16. Фазовый портрет динамической системы (10.2) на двумерном
многообразии S для однородной космологической модели V типа.
ранства асимптотики казнеровского типа:
ДР, i:F/3 "±_ i±V$
Pl --
pf
± 1 Рз= -
2 ' t2i 2 '
(10.3)
Неустойчивой особой точке Ф0 (г = г; = 0) отвечает квазифрид-мановская
асимптотика qt ^ С^4/3(1+^. Отталкивающей особой точке Фх (г = - 1/2, v =
0) отвечает точное решение в пустом пространстве
д{ = С (10.4)
Открытое решение Фридмана в модели V типа соответствует сепаратрисе v =
0, идущей из особой точки Фх в особую точку
§ 10] СПЕЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
119
Ф0. В силу монотонности изменения координаты v получаем известное
утверждение [61]: при направлении времени в сторону расширения все
метрики в модели V типа изотропизуются и имеют при t ->• оо асимптотику
открытого решения Фридмана (10.4) (все траектории системы (10.2) входят в
притягивающую при таком направлении времени особую точку Фх); при
направлении времени в сторону сжатия все метрики имеют при t -"• 0 либо
устойчивую анизотропную казнеровскую асимптотику (10.3), либо
неустойчивую квазифридмановскую асимптотику.
VII тип. Однородная космологическая модель VII типа (ni = = п2 = 1, пъ
= 0, а 0), так же как и модель V типа, содержит открытое решение
Фридмана, которому отвечает исключительная траектория системы (8.5) -
(8.10): qx = q2 = g3, р\! (gt - g2)3 == = 0, Si = s2 = s3. На
многообразии S для модели VII типа, как показано в § 9, при всех а
имеется отрезок притягивающих (при направлении времени в сторону
расширения) особых точек Ьу
(9.6), которым отвечают устойчивые при расширении пространства точные
решения (9.7). Частным случаем этих решений при у = 1 является точное
решение в пустом пространстве
qi = q2 = Cit2, q3 = a2t2, ф = const. (10.5) Решение (10.5) при С± = а2
изотропно и при t ->• оо имеет асимптотику открытого решения Фридмана.
Все остальные устойчивые решения (9.7) при у Ф 1 становятся анизотропными
при ?->-оо, поэтому изотропизация решений в модели VII типа возможна
только на промежуточной стадии эволюции.
Рассмотрим последние оставшиеся не исследованными особые точки
динамической системы (8.10) - (8.14) на многообразии S. В этих особых
точках у± = у2. Система (8.14) на инвариантном многообразии yi = г/2 =
1/^2 имеет вид
"1 = 4/2 ah2 (- 1 + Sj (si - sa)), s2 = 4/2 ah2 (1 + s2 (si - s2)),
(10.6)
i = 4/2a? (si - s2) + 4/2z (si - s2), w = 8/2 u?a2z2 (si - s2).
Система (10.6) рассматривается на уровне связи s? + s2 + "з = = s* + вг +
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed