Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
III, IV, VI и VII типов
I. Некоторые точные решения и асимптотики метрики для моделей класса В.
Компактные четырехмерные многообразия S, построенные в § 8 для моделей
III, IV, VI и VII типов, являются произведениями Р X I, где Р -
трехмерное ограниченное множество в координатахst, шили s*, z, w; sh zl9
диффеоморфное половине трехмерного шара, а I - отрезок на окружности у\ +
+ у\ = 1> Vi ^ 0. Граница Г многообразия S состоит из четырех компонент:
Г0 (#2 - 0), Tw (w - 0), Yx {уг = 1, у2 *= 0),
У2 (1/1 - 0, г/2 = 1); в пересечении этих компонент находятся углы
границы. Компоненты границы Г и все их пересечения являются инвариантными
многообразиями динамической системы (8.10) (соответственно (8.14) или
(8.18)) на многообразии S.
ДИНАМИКА КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ КЛАССА В
107
Полезно сравнить систему (8.10) с аналогичной системой (4.9) для
однородных моделей класса А. Как отмечалось в § 4, системы
(4.9) для всех моделей класса А при w = 0 оказываются полностью
тождественными. В противоположность этому в классе В система (8.10) при w
= 0 оказывается совершенно другой (это проявление недиагональности
метрики для моделей класса В) и зависит от типа модели (вследствие того,
что метрика приводится к диагональному виду различными преобразованиями;
см. § 3). Однако некоторые особые точки систем (8.10) и (4.9) при w = 0
совпадают, например особые точки Фдх (si - - l/}^3, w = 0); совпадают
также все собственные числа в этих особых точках. Поэтому во всех моделях
класса В также имеются квазиизотроп-ные асимптотики при t -*¦ 0, имеющие
коразмерность два:
91 * (9.1)
при ЭТОМ ф -*¦ const.
Система (8.10) на компонентах границы Yt при п% Ф 0 тождественно
совпадает с системой (4.9) (или (6.1)) на соответствующих углах Yt
многообразия S для моделей класса А. Поэтому на многообразии S для
моделей класса В также имеются окружности особых точек (ф, i) (^ + s2 +
s3 - -1/2, $1 + s\ + si = 1, у* - = 6ifr, w = 0), изолированные особые
точки Nt (6.3) и точки Ф?° - концевые точки отрезка ФЛх (Уг + у\ - 1)
(здесь i - 1, 2 для моделей III, VI и VII типов и i = 1 для модели IV
типа). Совпадают также все собственные числа этих особых точек. Поэтому в
моделях класса В также реализуются (неустойчивые) асимптотики N^ имеющие
коразмерность три:
Qi ~ ~ С2^3+1с^2^1+к\
q3 ^ U ] - 1, 2, (9.2)
при ЭТОМ ф -> const при t -*¦ 0.
Две дуги (Р31, 1) (s3 <st< s2) и ф32, 2) (s9 <s2< st) на окружностях
особых точек (г|>, 1) и (\|>, 2) (для модели IV типа только дуга (Р31,
1)), также как и для моделей VI0 и VII0 типов (см. § 7), состоят из
притягивающих в сторону сжатия особых точек. Решения, соответствующие
траекториям, входящим в эти особые точки, имеют при ?->0 устойчивую
казнеровскую асимптотику метрики
qx ^ Ct?Pi, Pi = 1 + Y^Sij ф ->¦ const. (9.3)
Перечисленные особые точки лежат на границе физической области
многообразия 5, и поэтому им соответствуют не точные решения, а
асимптотики метрики. Ряд точных решений в однородных моделях класса В
можно найти, исследуя особые точки в физической области w Ф 0, угФ 0
многообразия S. В дальнейших
108 КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. II
вычислениях удобно разрешить связи (8.9) и перейти (в физической области)
к новым координатам
S2 II DO Р1-Р2- -^з 2 Sl
Чх
II а Рх-Рг -А Si - s2
?1 1 /0 yxwli
2-Рз - Л - К II rfs* 2^з - -Si - s2
i/i У)1г
(9.4)
х _ /х ^3 - ^1 - ^2 _ ^ ^3 - Ч - $2 92 __ У2
У\Ш^ ? ^
Динамическая система (8.6)- (8.10) в координатах (9.4) и времени тх = 2тх
имеет вид
й=у",
"=",+2 <";-*•)-2">
х = хи - 2 (?2i - ?г2г/)2, (9.5)
в = u2 + и* - п\у* - 4а*!, ~ + Яз.
Здесь функция Я3 имеет вид Я3 = 1 ~ А ^Згг2 + -g-^2-----2-wa: - +
ua:'
a2x2y
(nx - re?j/)2
12a2y -("j - и2г/)2] .
Система (9.5) при у Ф 0 имеет одномерное множество особых точек Ly с
координатами (у - параметр)
v = 0, х= , u = 2a/y. (9.6)
"У у
В этих особых точках Я3 = 0.
В случае однородной модели IV типа других особых точек у системы (9.5) -
(8.10) в области у Ф 0, юф 0 нет. Для моделей
III, VI и VII типов кроме линии Ьу имеются еще особые точки
при у = 1 (их мы рассмотрим отдельно в § 10). Особые точки
Ly
определяют следующие точные вакуумные решения в моделях III,
IV, VI и VII типов:
91=1), ъ = yqi, х = ,
о,2 In t (9-7)
q3=qst\ <p =--------_+фо.
2 У 4
Эти точные решения для моделей III, VI и VII типов впервые были найдены в
работе [70], где указаны также приближенные оценки области их
устойчивости.
9]
ДИНАМИКА КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ КЛАССА В
109
Устойчивость решений (9.7) можно исследовать полностью (и найти точные
границы (по параметру у) области устойчивости) на основе вычисления
собственных чисел особых точек
(9.6). Выпишем характеристическую матрицу системы (9.5)
А{(к)= -7Г-1---hb) в этих особых точках:
дх. з
У и X и
У -X У 0 0
V 2 - - т 2aVy-% 4 ат3 У у т2 0
X kn2*m2 0 2 а У у - X ml aVy
1 - к 1 - к ((т2)2 2ат3 У у 4аVy-%-\тЛ f 12 a Vu4-
и 4а -f- ^ X 1 - Шл У 1 8 U Vv + 12а Уу) т2
